Variación y covariación: mesas, niños y estaturas promedio
Respuesta rápida
n = 2m + 2; a 10 mesas, 22 niños; a 20 mesas, 42 niños. La estatura aumenta 5 cm por año: y = 5x + 85.
Solución — Página 71
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Análisis de la página
La página presenta dos situaciones de variación entre cantidades relacionadas.
Situación 1: mesas y niños
La tabla muestra:
| Mesas (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| Niños (n) | 4 | 6 | 8 | 10 | ... |
- Las cantidades que cambian son las variables: m (mesas) y n (niños).
- A cada valor de m le corresponde un valor de n: (1,4), (2,6), (3,8), ...
- Al aumentar m de 1 a 2, n pasa de 4 a 6; al pasar m de 2 a 3, n pasa de 6 a 8.
- El patrón es: multiplicar las mesas por 2 y sumar 2.
n = 2m + 2
Verificación con los ejemplos del texto:
- Para m = 10: n = 2(10) + 2 = 20 + 2 = 22 niños.
- Para m = 20: n = 2(20) + 2 = 40 + 2 = 42 niños.
Situación 2: edad y estatura promedio
| Edad en años (x) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Estatura promedio en cm (y) | 140 | 145 | 150 | 155 | 160 |
La variación se calcula con diferencias: x_{2} - x_{1} y y_{2} - y_{1}.
- x_{2} - x_{1} = 12 - 11 = 1 año; y_{2} - y_{1} = 145 - 140 = 5 cm.
- x_{2} - x_{1} = 13 - 12 = 1 año; y_{2} - y_{1} = 150 - 145 = 5 cm.
- x_{2} - x_{1} = 14 - 13 = 1 año; y_{2} - y_{1} = 155 - 150 = 5 cm.
- x_{2} - x_{1} = 15 - 14 = 1 año; y_{2} - y_{1} = 160 - 155 = 5 cm.
Conclusión: por cada año de aumento en la edad, la estatura promedio aumenta 5 cm. La relación es lineal: y = 5x + 85.
Respuesta: la variación se modela con n = 2m + 2 y con diferencias constantes de 5 cm por año.
Contenido de la página
La variación ocurre siempre y cuando haya cantidades o datos cambiantes. En el caso de las mesas y la distribución de los niños en la fiesta, se tienen los siguientes datos:
Distribución de mesas y niños
| Mesas | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| Niños | 4 | 6 | 8 | 10 | ... |
De acuerdo con los datos de la tabla se puede deducir que:
- Cambia la cantidad de mesas y de niños. Estas cantidades son las variables.
- A determinada cantidad de mesas le corresponde una determinada cantidad de niños: a 1 mesa le corresponden 4 niños; a 2 mesas, 6; a 3 mesas, 8, y así sucesivamente. Esto se puede escribir de la siguiente forma: (1, 4), (2, 6), (3, 8), ...
- Los cambios en la cantidad de mesas provocan una modificación en la cantidad de niños. Si las mesas aumentan de 1 a 2, la cantidad de niños se incrementa de 4 a 6. Si aumentan las mesas de 2 a 3, los niños lo hacen de 6 a 8, y así sucesivamente.
- Se pueden anticipar las cantidades covariantes si se deduce el patrón de relación entre ambas cantidades. Para conocer la cantidad de niños, se multiplica por 2 la cantidad de mesas y se suman 2. Algebraicamente, esto se representa como n = 2m + 2, donde n representa la cantidad de niños y m la cantidad de mesas. Por ejemplo, a 10 mesas les corresponden 22 niños y a 20, les corresponden 42.
La variación se puede calcular mediante restas o diferencias, es decir, a una cantidad x_{2} de la variable x, se le resta la cantidad anterior x_{1}, esto es, x_{2} - x_{1}. Esta variable x puede estar relacionada al menos con otra variable, como y; así, al valor de x_{2} le corresponde uno de y_{2}, como al valor de x_{1}, el de y_{1}. Los cambios en x tienen su correspondiente cambio en y: la modificación en x, obtenida para x_{2} - x_{1}, genera la correspondiente en y, así como en y_{2} - y_{1}. Esto se aprecia con las variaciones en la estatura promedio de los adolescentes, cuyos datos aparecen en la siguiente tabla. Las variables son la edad x y la estatura promedio y.
Datos del estudio de edades y estaturas promedio
| Edad en años (x) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Estatura promedio en centímetros (y) | 140 | 145 | 150 | 155 | 160 |
Ejemplos resueltos
A 10 mesas, ¿cuántos niños les corresponden?
n = 2(10) + 2 = 20 + 2 = 22 niños.
A 20 mesas, ¿cuántos niños les corresponden?
n = 2(20) + 2 = 40 + 2 = 42 niños.
Tablas (2)
| Mesas | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| Niños | 4 | 6 | 8 | 10 | ... |
| Edad en años (x) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Estatura promedio en centímetros (y) | 140 | 145 | 150 | 155 | 160 |
Diagrama
graph LR
A[Mesas m] -->|n = 2m + 2| B[Niños n]
C[Edad x] -->|y = 5x + 85| D[Estatura y]
Fórmulas y ecuaciones
n = 2m + 2
y = 5x + 85
n = 2m + 2
x_{2} - x_{1}
y_{2} - y_{1}
y = 5x + 85
Glosario (4)
- Variación
- Cambio que experimenta una cantidad o dato.
- Covariación
- Relación en la que el cambio de una variable produce un cambio correspondiente en otra.
- Variable
- Cantidad que puede tomar distintos valores.
- Patrón
- Regla que describe cómo se relacionan los valores de dos variables.
Preguntas para practicar
¿Por qué se dice que las mesas y los niños son variables?
Porque sus cantidades cambian o pueden cambiar: no son fijas. Al aumentar o disminuir las mesas, también cambia el número de niños. Por eso se representan con letras como $m$ y $n$.
¿Cómo se calcula la variación entre dos cantidades?
Se calcula mediante restas o diferencias: a un valor $x_{2}$ se le resta el valor anterior $x_{1}$, es decir, $x_{2} - x_{1}$. De igual forma se obtiene la variación en $y$ con $y_{2} - y_{1}$. Así se comparan los cambios entre dos variables relacionadas.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Qué es la covariación en matemáticas?
¿Cómo se calcula la variación entre dos cantidades?
¿Cómo encontrar el patrón de una tabla de valores?
- • Operaciones básicas con números naturales
- • Lectura de tablas de datos
- • Nociones de variable
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2494 caracteres
La variación ocurre siempre y cuando haya cantidades o datos cambiantes. En el caso de las mesas y la distribución de los ninos en la fiesta, se tienen los siguientes datos:
De acuerdo con los datos de la tabla se puede deducir que:
Cambia la cantidad de mesas y de ninos. Estas cantidades son las variables.
A determinada cantidad de mesas le corresponde una determinada cantidad de ninos: a 1 mesa le corresponden 4 ninos; a 2 mesas, 6; a 3 mesas, 8, y así sucesivamente. Esto se puede escribir de la siguiente forma: (1, 4), (2, 6),(3, 8), ….
3.Los cambios en la cantidad de mesas provocan una modificación en la cantidad de ninos. Si las mesas aumentan de 1 a 2, la cantidad de ninos se incrementa de 4 a 6. Si aumentan las mesas de 2 a 3, los ninos lo hacen de 6 a 8, y así sucesivamente.
4.Se pueden anticipar las cantidades covariantes si se deduce el patrón de relación entre ambas cantidades. Para conocer la cantidad de ninos, se multiplica por 2 la cantidad de mesas y se suman 2. Algebraicamente, esto se representa como n=2m+2 , donde n representa la cantidad de ninos y m la cantidad de mesas. Por ejemplo, a 10 mesas les corresponden 22 ninos y a20 , les corresponden 42.
La variación se puede calcular mediante restas o diferencias, es decir, a una cantidad x_{2} de la variable x, se le resta la cantidad anterior x_{1} , esto es,x_{2}-x_{1} Esta variable x puede estar relacionada al menos con otra variable, como y;así, al valor de x_{2} le corresponde uno de y_{2}, como al valor de x_{1} ,elde y_{1} . Los cambios en x tienen su correspondiente cambio en y: la modificación en x, obtenida para x_{2}-x_{1}, , genera la correspondiente en y, así como en y_{2}-y_{1} (.Esto se aprecia con las variaciones en la estatura promedio de los adolescentes, cuyos datos aparecen en la siguiente tabla. Las variables son la edad x y la estatura promedio y.
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Distribución de mesas y ninos
| Mesas | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| Ninos | 4 | 6 | 8 | 10 | · |
Datos del estudio de edades y esturas promedio
| Edad en años (x) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Estatura promedio en centímetros (y) | 140 | 145 | 150 | 155 | 160 |
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