Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Representación algebraica de la covariación: y = 0.5x

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Respuesta rápida

$y = 0.5x$ ; parejas $(1, 0.5)$ , $(10, 5)$ , $(100, 50)$ ; $\Delta x = 1$ , $\Delta y = 0.5$ , razón $0.5$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 74

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1

Coordinación de valores entre las dos variables (tiempo y volumen).

Se identifican las parejas de correspondencia: a $1\,\text{s}$ le corresponden $0.5\,\text{l}$ ; a $2\,\text{s}$ , $1\,\text{l}$ ; a $3\,\text{s}$ , $1.5\,\text{l}$ .
Escritas como parejas ordenadas: $(1, 0.5)$ , $(2, 1)$ , $(3, 1.5)$ .

Respuesta orientativa: las parejas ordenadas son $(1, 0.5)$ , $(2, 1)$ y $(3, 1.5)$ .

Paso 2

Dirección del cambio.

Al aumentar el tiempo, el volumen también aumenta.
Ambas variables crecen de manera conjunta: es una covariación directa.

Respuesta orientativa: la dirección del cambio es creciente en ambas variables.

Paso 3

Medida del cambio de una variable respecto de la otra.

El tiempo aumenta $1\,\text{s}$ .
El volumen aumenta $0.5\,\text{l}$ .
La razón es $\frac{0.5\,\text{l}}{1\,\text{s}} = 0.5\,\text{l/s}$ .

Respuesta orientativa: por cada segundo que pasa, el volumen aumenta $0.5\,\text{l}$ .

Paso 4

Razón a la que entra el agua.

La razón constante es $0.5\,\text{l}$ por segundo.
A cada aumento uniforme del tiempo (de uno en uno) le corresponden aumentos uniformes del volumen: $0.5\,\text{l}$ por segundo.

Respuesta orientativa: el agua entra a razón de $0.5\,\text{l/s}$ .

Representación algebraica

Enunciado: expresar la relación entre el volumen $y$ y el tiempo $x$ .

Se observa que cada valor de $y$ se obtiene multiplicando el valor correspondiente de $x$ por $0.5$ .
Se escribe la expresión algebraica: $y = 0.5x$ .
Verificación con la tabla: $(0.5)(1)=0.5$ , $(0.5)(2)=1$ , $(0.5)(3)=1.5$ , $(0.5)(40)=20$ .

Respuesta: $y = 0.5x$ .

Generación de valores

Enunciado: usar $y = 0.5x$ para generar valores y parejas.

Si $x = 1$ , entonces $y = (0.5)(1) = 0.5$ .
Si $x = 10$ , entonces $y = (0.5)(10) = 5$ .
Si $x = 100$ , entonces $y = (0.5)(100) = 50$ .
Parejas generadas: $(1, 0.5)$ , $(10, 5)$ , $(100, 50)$ .

Respuesta: $y = 0.5x$ permite generar cualquier pareja $(x, 0.5x)$ .

Incrementos Δx y Δy

Enunciado: calcular los incrementos en las variables $x$ y $y$ .

Se define $\Delta x = x_{2} - x_{1}$ y $\Delta y = y_{2} - y_{1}$ .
Si $x$ cambia de $1$ a $2$ : $\Delta x = 2 - 1 = 1$ ; $y$ cambia de $0.5$ a $1$ : $\Delta y = 1 - 0.5 = 0.5$ .
Si $x$ cambia de $2$ a $3$ : $\Delta x = 3 - 2 = 1$ ; $y$ cambia de $1$ a $1.5$ : $\Delta y = 1.5 - 1 = 0.5$ .
La razón $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0.5}{1} = 0.5$ se mantiene constante.

Respuesta: $\Delta x = 1$ y $\Delta y = 0.5$ en cada intervalo; la razón de cambio es $0.5$ .

Contenido de la página

La covariación se describe mediante cuatro pasos y se representa en la tabla anterior.

Inicia con la coordinación de los valores de correspondencia entre las dos variables: a $1\,\text{s}$ le corresponden $0.5\,\text{l}$ , a $2\,\text{s}$ le corresponde $1\,\text{l}$ , a $3\,\text{s}$ le corresponden $1.5\,\text{l}$ . Escrito como parejas de números sería: $(1, 0.5)$ , $(2, 1)$ , $(3, 1.5)$ .
Se identifica la dirección del cambio; en este caso, si el tiempo aumenta, también el volumen lo hace.
Se describe la medida del cambio de una variable respecto de la otra: el tiempo aumenta $1\,\text{s}$ y el volumen aumenta $0.5\,\text{l}$ .
Se determina la razón a la que entra el agua, esto es, $0.5\,\text{l}$ por segundo. Además, a cada aumento uniforme en el tiempo (de uno en uno) le corresponden aumentos uniformes en el volumen: $0.5\,\text{l}$ por cada segundo que aumenta en el tiempo.

Representación algebraica

Las relaciones entre las variables se pueden representar mediante expresiones algebraicas. Para este propósito, retomando el ejemplo anterior, el volumen puede expresarse con la letra $y$ , usando la letra $x$ para el tiempo. La tabla siguiente muestra los valores de $y$ en una disposición donde se puede apreciar un patrón o una regularidad en dependencia con los valores de $x$ , ya que se obtienen al multiplicar su correspondiente valor de $x$ por $0.5$ ; por tanto, la relación entre las variables $y$ y $x$ está dada mediante la expresión $y = 0.5x$ . Esta expresión algebraica indica que el volumen aumenta $0.5$ veces el tiempo.

Evidencia de la relación entre el volumen y el tiempo

$x$	1	2	3	…	40	$x$
$y$	0.5	1	1.5	…	20	$y$
$y$	$(0.5)(1)=0.5$	$(0.5)(2)=1$	$(0.5)(3)=1.5$	…	$(0.5)(40)=20$	$0.5x=y$

Mediante la expresión $y = 0.5x$ se pueden generar todos los valores que se deseen, por ejemplo, si $x = 1$ , entonces $y = (0.5)(1) = 0.5$ ; si $x = 10$ , $y = (0.5)(10) = 5$ ; y si $x = 100$ , $y = (0.5)(100) = 50$ , de ahí se pueden generar las parejas de la forma $(x, y)$ de la siguiente manera: $(1, 0.5)$ ; $(10, 5)$ ; $(100, 50)$ . Para efectos de la covariación la expresión $y = 0.5x$ permite:

Tener presente que la dependencia de la variable $y$ en la variable $x$ se da mediante esa expresión algebraica.
Generar las parejas de números.
Coordinar sus valores correspondientes.

En el apartado anterior se introdujeron las expresiones algebraicas $x_{2} - x_{1}$ y $y_{2} - y_{1}$ para calcular los cambios en las variables $x$ y $y$ , respectivamente. Se utiliza la letra griega $\Delta$ para representar incrementos en una variable. Así, $\Delta x = x_{2} - x_{1}$ es el incremento en la variable $x$ y $\Delta y = y_{2} - y_{1}$ el incremento en la variable $y$ . La covariación consiste en coordinar esos cambios entre $\Delta x$ y $\Delta y$ . Si $x$ cambia de $1$ a $2$ , entonces $y$ lo hace de $0.5$ a $1$ , es decir, si $\Delta x = 2 - 1 = 1$ , entonces $\Delta y = 1 - 0.5 = 0.5$ . Si $x$ cambia de $2$ a $3$ , $y$ lo hace de $1$ a $1.5$ , es decir, $\Delta x = 3 - 2 = 1$ , entonces $\Delta y = 1.5 - 1 = 0.5$ , y así sucesivamente.

Ejemplos resueltos

Usar $y = 0.5x$ para calcular el volumen cuando $x = 10$ y cuando $x = 100$ .

Se sustituye $x = 10$ : $y = (0.5)(10) = 5$ .
Se sustituye $x = 100$ : $y = (0.5)(100) = 50$ .
Las parejas son $(10, 5)$ y $(100, 50)$ .

Calcular $\Delta x$ y $\Delta y$ cuando $x$ cambia de $2$ a $3$ y $y$ cambia de $1$ a $1.5$ .

$\Delta x = 3 - 2 = 1$ .
$\Delta y = 1.5 - 1 = 0.5$ .
La razón es $\frac{0.5}{1} = 0.5$ .

Tabla

$x$	1	2	3	…	40	$x$
$y$	0.5	1	1.5	…	20	$y$
$y$	$(0.5)(1)=0.5$	$(0.5)(2)=1$	$(0.5)(3)=1.5$	…	$(0.5)(40)=20$	$0.5x=y$

Diagrama

flowchart TD
  A[Covariación] --> B[Paso 1: Coordinar valores]
  A --> C[Paso 2: Identificar dirección del cambio]
  A --> D[Paso 3: Medir el cambio]
  A --> E[Paso 4: Determinar la razón]
  B --> F[Parejas ordenadas]
  C --> G[Aumenta el tiempo, aumenta el volumen]
  D --> H[1 s → 0.5 l]
  E --> I[0.5 l por segundo]
  I --> J[Expresión algebraica y = 0.5x]

Fórmulas y ecuaciones

y = 0.5x

$\Delta$ x = $x_{2}$ - $x_{1}$

$\Delta$ y = $y_{2}$ - $y_{1}$

y = 0.5x

$\Delta$ x = $x_{2}$ - $x_{1}$

$\Delta$ y = $y_{2}$ - $y_{1}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{0.5}{1}$ = 0.5

Glosario (6)

Covariación: Relación en la que dos variables cambian de manera conjunta y coordinada.
Variable dependiente: Variable cuyo valor depende del valor que tome otra variable; en el ejemplo, el volumen $y$.
Variable independiente: Variable que se modifica libremente y determina el valor de la otra; en el ejemplo, el tiempo $x$.
Expresión algebraica: Combinación de números, letras y operaciones que representa una relación entre variables.
Incremento ($\Delta$): Cambio o diferencia entre dos valores de una variable; se representa con la letra griega delta.
Razón de cambio: Cociente entre el cambio de la variable dependiente y el cambio de la variable independiente.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que la covariación es uniforme en este ejemplo?

Porque cada vez que el tiempo aumenta 1 segundo, el volumen aumenta siempre la misma cantidad: 0.5 litros. Esa razón constante de cambio hace que la covariación sea uniforme y que la relación sea lineal.

¿Qué ventaja tiene representar la covariación con una expresión algebraica en lugar de solo con una tabla?

La expresión algebraica permite calcular el valor de la variable dependiente para cualquier valor de la variable independiente sin necesidad de completar toda la tabla. Además, muestra de forma general la regla que relaciona ambas variables.

Temas y conceptos clave

CovariaciónRepresentación algebraicaExpresión y = 0.5xIncrementos Δx y ΔyCovariaciónVariable dependienteVariable independienteExpresión algebraicaRazón de cambioIncremento

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es la covariación y cómo se describe en cuatro pasos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se representa algebraicamente la relación entre dos variables?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significan Δx y Δy en una covariación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Lectura y elaboración de tablas de valores
• Parejas ordenadas en el plano cartesiano
• Multiplicación de números decimales
• Noción de variable dependiente e independiente

Siguiente tema sugerido

Representación gráfica de la covariación y pendiente de una recta

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 3084 caracteres

La covariación se describe mediante cuatro pasos y se representa en la tabla anterior.

Inicia con la coordinación de los valores de correspondencia entre las dos variables: a 1 s le corresponden 0.5 1, a 2 s le corresponde 1 1, a 3 s le corresponden 1.5 1. Escrito como parejas de números sería: (1, 0.5), (2, 1), (3, 1.5).

2.Se identifica la dirección del cambio; en este caso, si el tiempo aumenta, también el volumen lo hace.

3.Se describe la medida del cambio de una variable respecto de la otra: el tiempo aumenta 1 s y el volumen aumenta 0.5 1.

4.Se determina la razón a la que entra el agua, esto es, 0.5 1 por segundo. Además, a cada aumento uniforme en el tiempo (de uno en uno) le corresponden aumentos uniformes en el volumen: 0.5 I por cada segundo que aumenta en el tiempo.

Representación algebraica

Las relaciones entre las variables se pueden representar mediante expresiones algebraicas. Para este propósito, retomando el ejemplo anterior, el volumen puede expresarse con la letra y, usando la letra x para el tiempo. La tabla siguiente muestra los valores de y en una disposición donde se puede apreciar un patrón o una regularidad en dependencia con los valores de x, ya que se obtienen al multiplicar su correspondiente valor de x por O.5; por tanto, la relación entre las variables y y x está dada mediante la expresión $y=0.5x$ Esta expresión algebraica indica que el volumen aumenta 0.5 veces el tiempo.

Mediante la expresión $y=0.5x$ se pueden generar todos los valores que se deseen, por ejemplo, si $x=1$ ,entonces $y=(0.5)(1)=0.5;$ ;si $x=10$ A $y=(0.5)(10)=5;\quad y\quad\mathrm{si}\quad x=100,\quad y=(0.5)(100)=50$ , de ahí se pueden generar las parejas de la forma $(x,y)$ de la siguiente manera: (1, 0.5); (10, 5);(100, 50). Para efectos de la covariación la expresión $y=0.5x permite$ :▲

c Tener presente que la dependencia de la variable y en la variable x se da mediante esa expresión algebraica.

(cGenerar las parejas de números.

Coordinar sus valores correspondientes.

En el apartado anterior se introdujeron las expresiones algebraicas $x_{2}-x_{1}y y_{2}-y_{1}$ para calcular los cambios en las variables x y y respectivamente. Se utiliza la letra griega ∆para representar incrementos en una variable. Así, $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ es el incremento en la variable xy $\Delta y=y_{2}-y_{1}$ el incremento en la variable y. La covariación consiste en coordinar esos cambios entre ∆x y ∆y. Si x cambia de 1 a 2, entonces y lo hace de 0.5 a 1, es decir,si $\Delta x=2-1=1$ , entonces $\Delta y=1-0.5=0.5$ . Si x cambia de 2 a 3, y lo hace de 1 a 1.5,es decir, $\Delta x=3-2=1$ , entonces $\Delta y=1.5-1=0.5$ , y así sucesivamente.

求

Evidencia de la relación entre el volumen y el tiempo