Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Razón de cambio y su representación gráfica

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Respuesta rápida

Razón de cambio: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . En los ejemplos: $0.5$ (volumen) y $2$ cm/mes (planta).

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 75

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Concepto de razón de cambio

La razón de cambio de $y$ respecto de $x$ se define como el cociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , que indica cuánto cambia $y$ por cada unidad que cambia $x$ .

Su expresión algebraica es:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Ejemplo 1: razón de cambio constante

Con los datos del texto se obtiene:

Para el primer intervalo:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1-0.5}{2-1}=\frac{0.5}{1}=0.5$

Para el segundo intervalo:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1.5-1}{3-2}=\frac{0.5}{1}=0.5$

Respuesta: la razón de cambio es constante e igual a $0.5$ ; cada segundo el volumen aumenta $0.5$ litros.

Ejemplo 2: crecimiento de una planta

La gráfica muestra la altura (cm) en función del tiempo (meses).

Del mes 0 al 2:

$\Delta x=2-0=2,\quad \Delta y=7-3=4$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$

Del mes 2 al 4:

$\Delta x=4-2=2,\quad \Delta y=11-7=4$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$

Del mes 4 al 6:

$\Delta x=6-4=2,\quad \Delta y=15-11=4$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$

Respuesta: la altura crece a una razón constante de $2$ cm por mes.

Interpretación gráfica

En la gráfica, $\Delta x$ y $\Delta y$ son los catetos de triángulos rectángulos formados entre puntos de la recta. Como la razón de cambio es constante, los puntos están alineados y la gráfica es una línea recta.

Contenido de la página

Finalmente, la variación se mide mediante razones de cambio. Una razón de cambio de $y$ respecto de $x$ se define como el cociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ que denota el cambio en $y$ entre el cambio en $x$ . La expresión algebraica que la representa es:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Con ella, las razones de cambio anteriores se obtendrían así:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1-0.5}{2-1}=0.5 \quad y \quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1.5-1}{3-2}=0.5$

En términos de la covariación se puede decir que, a incrementos uniformes del tiempo (de 1 s en 1 s) corresponden incrementos uniformes en el volumen (aumenta 0.5 l): cada que transcurre un segundo, el volumen aumenta 0.5 l. En este caso, se dice que la razón de cambio es constante, ya que se puede verificar para otros valores de $\Delta x$ y su correspondiente $\Delta y$ cuyo resultado del cociente siempre será igual a 0.5.

Representación gráfica

Ejemplo

La gráfica muestra el crecimiento de una planta. En ella se puede ver que las variables covariantes son la altura y el tiempo. Los $\Delta x$ y $\Delta y$ son los catetos de los triángulos rectángulos que se forman al representar los cambios de $x$ y $y$ , los cuales deben interpretarse en términos de la coordinación de éstos en la medida en que las variables cambian. En este caso, si el tiempo cambia de 0 a 2 meses ( $\Delta x=2-0=2$ ), entonces su altura cambia de 3 cm a 7 cm ( $\Delta y=7-3=4$ ), es decir, aumenta 4 cm. Si el tiempo cambia de 2 a 4 meses ( $\Delta x=4-2=2$ ), su altura lo hace de 7 cm a 11 cm ( $\Delta y=11-7=4$ ), o sea, aumenta 4 cm. Del mes 4 al 6 ( $\Delta x=6-4=2$ ), su altura cambia de 11 cm a 15 cm ( $\Delta y=15-11=4$ ), nuevamente aumenta 4 cm.

Por tanto, se puede concluir que la altura crece a una razón de $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$ cm por mes.

Ejemplos resueltos

Calcular la razón de cambio con los pares de datos $(1, 0.5)$ , $(2, 1)$ y $(3, 1.5)$ .

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1-0.5}{2-1}=0.5$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1.5-1}{3-2}=0.5$

La razón de cambio es constante: $0.5$ .

Determinar la razón de cambio del crecimiento de una planta a partir de la gráfica: puntos $(0,3)$ , $(2,7)$ , $(4,11)$ , $(6,15)$ .

$\Delta x=2-0=2$ , $\Delta y=7-3=4$ , entonces $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$ .
$\Delta x=4-2=2$ , $\Delta y=11-7=4$ , entonces $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$ .
$\Delta x=6-4=2$ , $\Delta y=15-11=4$ , entonces $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$ .

La altura crece a razón de $2$ cm por mes.

Tabla

Tiempo (meses)	Altura (cm)	Δx	Δy	Δy/Δx
0	3	—	—	—
2	7	2	4	2
4	11	2	4	2
6	15	2	4	2

Diagrama

graph LR
  A[Cambio en x: Δx] --> C[Razón de cambio: Δy/Δx]
  B[Cambio en y: Δy] --> C
  C --> D[Interpretación: cambio de y por unidad de x]

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{1-0.5}{2-1}$ =0.5

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{1.5-1}{3-2}$ =0.5

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{4}{2}$ =2

Glosario (3)

Razón de cambio: Cociente entre el cambio de una variable dependiente y el cambio de la variable independiente.
Covariación: Relación en la que dos variables cambian simultáneamente.
Delta ($\Delta$): Símbolo que representa un cambio o incremento.

Preguntas para practicar

¿Qué significa que la razón de cambio sea constante?

Significa que por cada unidad que aumenta la variable independiente, la variable dependiente cambia siempre en la misma cantidad. En la gráfica, esto se representa con una línea recta.

Temas y conceptos clave

Razón de cambioRepresentación gráfica de la variaciónRazón de cambioCociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$CovariaciónRazón constante

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Figuras de la página (1)

Gráfica de una recta creciente que relaciona el tiempo (meses) en el eje x con la altura (cm) en el eje y. Se marcan triángulos rectángulos con Δx=2 y Δy=4 entre los puntos (0,3), (2,7), (4,11) y (6,15). — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la razón de cambio entre dos puntos?

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¿Qué significa que la razón de cambio sea constante?

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¿Cómo se relaciona la razón de cambio con la pendiente de una recta?

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📌 Antes de leer esto

• Interpretar gráficas en el plano cartesiano
• Calcular diferencias entre números
• Manejar fracciones y divisiones

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Razón de cambio promedio e instantánea

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Finalmente, la variación se mide mediante razones de cambio. Una razón de cambio de y respecto de x se define como el cociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ que denota el cambio en y entre el cambio en x. La expresión algebraica que la representa es:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Con ella, las razones de cambio anteriores se obtendrían asi:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1-0.5}{2-1}=0.5\ y\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1.5-1}{3-2}=0.5$

En términos de la covariación se puede decir que, a incrementos uniformes del tiempo (de 1 s en 1 s) corresponden incrementos uniformes en el volumen (aumenta 0.5 I): cada que transcurre un segundo, el volumen aumenta 0.5 1. En este caso, se dice que la razón de cambio es constante, ya que se puede verificar para otros valores de ∆x y su correspondiente ∆y cuyo resultado del cociente siempre será igual a 0.5.

Representación gráfica

Ejemplo

La gráfica muestra el crecimiento de una planta. En ella se puede ver que las variables covariantes son la altura y el tiempo. Los $\Delta x y\Delta y$ son los catetos de los triángulos rectángulos que se forman al representar los cambios de x y y, los cuales deben interpretarse en términos de la coordinación de éstos en la medida en que las variables cambian.En este caso, si el tiempo cambia de 0 a 2 meses $\left(\Delta x=2-0=2\right)$ ., entonces su altura cambia de 3 cm a7 cm $\Delta y=7-3=4$ 1, es decir, aumenta 4 cm. Si el tiempo cambia de 2 a 4 meses $\left(\Delta x=4-2=2\right)$ su altura lo hace de 7 cm a 11 cm $\left(\Delta y=11-7=4\right)$ ,o sea, aumenta4 cm.Del mes 4 al6 $\left(\Delta x=6-4=2\right)$ ',su altura cambia de 11 cm a 15 cm $\left(\Delta y=15-11=4\right)$ ',nuevamente aumenta 4 cm.

Por tanto, se puede concluir que la altura crece a una razón de $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$ cm por mes.

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