Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

SEP/CONALITEG

76/339

Variación y covariación: el área de un cuadrado como función de su lado

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 76

76 de 339

Anterior Página 76 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

$A(l)=l^{2}$ ; $\Delta A_{0}=1$ , $\Delta A_{1}=3$ , $\Delta A_{2}=5$ ; los incrementos del área no son constantes, aumentan de $2$ en $2$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 76

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis de la situación

La gráfica representa la relación entre la medida del lado de un cuadrado, $l$ (en cm), y su área, $A$ (en cm $^{2}$ ), mediante la expresión algebraica:

$A(l)=l^{2}$

Las variables covariantes son $l$ y $A$ : al cambiar una, cambia la otra.

Paso 1. Interpretar los incrementos de la gráfica

La gráfica muestra puntos sobre la curva y triángulos rectángulos que representan los cambios.

Si $l$ cambia de $0$ a $1$ ( $\Delta l=1$ ), el área cambia de $0$ a $1$ :

$\Delta A_{0}=A(1)-A(0)=1^{2}-0^{2}=1$

Si $l$ cambia de $1$ a $2$ ( $\Delta l=1$ ), el área cambia de $1$ a $4$ :

$\Delta A_{1}=A(2)-A(1)=2^{2}-1^{2}=4-1=3$

Si $l$ cambia de $2$ a $3$ ( $\Delta l=1$ ), el área cambia de $4$ a $9$ :

$\Delta A_{2}=A(3)-A(2)=3^{2}-2^{2}=9-4=5$

Paso 2. Observar el patrón de los incrementos

Los incrementos del área son:

$\Delta A_{0}=1,\quad \Delta A_{1}=3,\quad \Delta A_{2}=5,\quad \Delta A_{3}=7,\dots$

No son constantes: aumentan de $2$ en $2$ . Esto ocurre porque la relación es cuadrática, no lineal.

Paso 3. Completar la tabla de valores

$l$	$A=l^{2}$	$\Delta A$
$0$	$0$	—
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$3$
$3$	$9$	$5$
$4$	$16$	$7$
$5$	$25$	$9$

Paso 4. Interpretar la covariación

Mientras $l$ aumenta siempre en $1$ , el área $A$ aumenta cada vez más: primero $1$ , luego $3$ , después $5$ , etc. Por eso se dice que $\Delta A$ es variable y no constante. La razón de cambio promedio entre dos puntos es:

$\frac{\Delta A}{\Delta l}=\frac{A(l_{2})-A(l_{1})}{l_{2}-l_{1}}$

Por ejemplo, entre $l=2$ y $l=3$ :

$\frac{9-4}{3-2}=5$

Paso 5. Representaciones equivalentes

Tabular: tabla de valores como la anterior.
Algebraica: $A(l)=l^{2}$ .
Gráfica: curva en el plano cartesiano con puntos $(l,A)$ .

Pasar de una representación a otra ayuda a comprender qué cambia, cómo cambia y a qué razón cambia.

Respuesta orientativa: La relación $A(l)=l^{2}$ es una covariación cuadrática; los incrementos del área no son constantes, sino que crecen de $2$ en $2$ cuando el lado aumenta en $1$ .

Contenido de la página

Las gráficas que representan la variación también pueden ser curvas como se muestra en la gráfica. En ella se representa el área de un cuadrado (en centímetros cuadrados) que depende de la medida de su lado (en centímetros) y esta relación se expresa algebraicamente como $A(l)=l^{2}$ . Las variables covariantes son la medida del lado ( $l$ ) y el área ( $A$ ).

De acuerdo con la información gráfica, si la medida del lado cambia de $0$ a $1$ ( $\Delta l=1$ ), el área lo hace de $0$ a $1$ ( $\Delta A_{0}=1$ ); si el lado cambia de $1$ a $2$ ( $\Delta l=1$ ), el área lo hace de $1$ a $4$ ( $\Delta A_{1}=3$ ). Si $l$ cambia de $2$ a $3$ ( $\Delta l=1$ ), $A$ lo hace de $4$ a $9$ ( $\Delta A_{2}=5$ ). Aquí los $\Delta A$ son variables, no constantes como en los casos anteriores. Sin embargo, para interpretar el proceso es necesario coordinar los valores correspondientes de las variables ( $l$ y $A$ ) y los incrementos en el área ocasionados por los incrementos en la longitud de su lado.

La variación se puede representar con apoyo de una tabla de valores, asignando cada variable $x$ y $y$ a una fila o columna. También las expresiones algebraicas son de mucha utilidad para representar la correspondencia entre variables. Del mismo modo, una gráfica es una representación visual en un plano cartesiano, en donde se pueden ver los valores de las variables representados por puntos del plano, cuyas coordenadas son $(x,y)$ y los cambios de estas variables, representados por los catetos de triángulos rectángulos.

Para la comprensión de la variación y covariación son de gran utilidad las representaciones tabulares, algebraicas y gráficas. Pasar de una tabla de valores a una representación algebraica, de una representación algebraica a una gráfica o de una gráfica a una tabla, ayuda a comprender qué y cómo cambia, a qué razón cambia, y también a coordinar los cambios.

Ejemplos resueltos

Calcula el incremento del área cuando el lado de un cuadrado pasa de $3$ cm a $4$ cm.

Identificamos $l_{1}=3$ y $l_{2}=4$ .
Calculamos $A(3)=3^{2}=9$ y $A(4)=4^{2}=16$ .
Restamos: $\Delta A=16-9=7$ .

Respuesta: $\Delta A=7\,\text{cm}^{2}$ .

Tabla

$l$ (cm)	$A=l^{2}$ (cm $^{2}$ )	$\Delta A$
$0$	$0$	—
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$3$
$3$	$9$	$5$
$4$	$16$	$7$
$5$	$25$	$9$

Diagrama

graph LR
  A[Variación y covariación] --> B[Tabla de valores]
  A --> C[Expresión algebraica A(l)=l²]
  A --> D[Gráfica en el plano cartesiano]
  B --> E[Comprender qué y cómo cambia]
  C --> E
  D --> E

Fórmulas y ecuaciones

$A(l)=l^{2}$

$\Delta$ $A=A(l_{2})-A(l_{1})$

$A(l)=l^{2}$

$\Delta$ $A_{0}=A(1)-A(0)=1$

$\Delta$ $A_{1}=A(2)-A(1)=3$

$\Delta$ $A_{2}=A(3)-A(2)=5$

$\frac{\Delta A}{\Delta l}$ = $\frac{A(l_{2})-A(l_{1})}{l_{2}-l_{1}}$

Glosario (5)

Variación: Cambio que experimenta una variable respecto de otra.
Covariación: Relación en la que dos variables cambian de manera conjunta y coordinada.
Incremento (Δ): Diferencia entre el valor final y el valor inicial de una variable.
Variable covariante: Variable cuyo valor depende de los cambios de otra variable.
Razón de cambio: Cociente entre el cambio de la variable dependiente y el cambio de la variable independiente.

Preguntas para practicar

¿Por qué los incrementos del área no son constantes en la relación $A(l)=l^{2}$?

Porque la relación es cuadrática: al aumentar el lado en una cantidad fija, el área crece proporcionalmente al cuadrado del lado. Esto hace que los incrementos $\Delta A$ aumenten cada vez más, siguiendo el patrón $1, 3, 5, 7,\dots$

¿Qué ventaja tiene representar una variación con una tabla, una expresión algebraica y una gráfica?

Cada representación muestra aspectos distintos: la tabla permite ver valores concretos, la expresión algebraica generaliza la relación y la gráfica muestra visualmente la forma del cambio. Pasar de una a otra ayuda a comprender mejor qué cambia y a qué razón cambia.

Temas y conceptos clave

Variación y covariaciónFunción cuadrática A(l)=l²Incrementos variablesRepresentaciones tabular, algebraica y gráficaVariable independiente lVariable dependiente AIncremento ΔlIncremento ΔACovariación cuadráticaRazón de cambio

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Gráfica de la función $A(l)=l^{2}$ en el primer cuadrante. El eje horizontal representa la medida del lado $l$ (de $0$ a $7$) y el eje vertical el área $A$ (de $0$ a $10$). Se marcan los puntos $(1,1)$, $(1.5,2.25)$, $(2,4)$ y $(3,9)$. Se muestran triángulos rectángulos que representan los incrementos: $\Delta l_{0}=1$, $\Delta A_{0}=1$; $\Delta l_{1}=1$, $\Delta A_{1}=3$; $\Delta l_{2}=1$, $\Delta A_{2}=5$. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué diferencia hay entre variación lineal y variación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el incremento del área de un cuadrado cuando su lado aumenta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué los incrementos ΔA no son constantes en A(l)=l²?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Interpretar puntos en el plano cartesiano
• Calcular el área de un cuadrado
• Sustituir valores en una expresión algebraica
• Identificar variables dependiente e independiente

Siguiente tema sugerido

Razón de cambio promedio e instantánea en fenómenos cuadráticos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1912 caracteres

Las gráficas que representan la variación también pueden ser curvas como se muestra en la gráfica. En ella se representa el área de un cuadrado (en centímetros cuadrados) que depende de la medida de su lado (en centímetros) y esta relación se expresa algebraicamente como $A(l)=l^{2}$ .Las variables covariantes son la medida del lado (l) y el área (A).

De acuerdo con la información gráfi ca, si la medida del lado cambia de $0\;a\;1\;(\Delta l=1)$ , el área lo hace de $0\mathrm{~a~}1\left(\Delta A_{0}=1\right)$ ; si el lado cambia de 1 $a2(\Delta l=1)$ 1,el área lo hace de 1 a 4 $\left(\Delta A_{1}=3\right)$ 1. Si I cambia de 2 a $3(\Delta l=1)$ 1, A lo hace de 4 a9 $\left(\Delta A_{2}=5\right)$ ). Aquí los ∆A son variables, no constantes como en los casos anteriores. Sin embargo, para interpretar el proceso es necesario coordinar los valores correspondientes de las variables $(l y A)$ y los incrementos en el área ocasionados por los incrementos en la longitud de su lado.

La variación se puede representar con apoyo de una tabla de valores, asignando cada variable $x y y a$ una fla o columna. También las expresiones algebraicas son de mucha utilidad para representar la correspondencia entre variables. Del mismo modo, una gráfica es una representación visual en un plano cartesiano, en donde se pueden ver los valores de las variables representados por puntos del plano, cuyas coordenadas son $(x,y)y$ los cambios de estas variables, representados por los catetos de triángulos rectángulos.

求

![](page=0,bbox=[148, 150, 507, 705])

Páginas cercanas