Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Regla del producto y regla de la adición en eventos independientes

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Respuesta rápida

$P(h,h)=\frac{1}{4}$ ; $P(h,m)=\frac{1}{4}$ ; $P(m,h)=\frac{1}{4}$ ; $P(m,m)=\frac{1}{4}$ ; $P(\text{un hombre y una mujer})=\frac{1}{2}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 87

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Explicar por qué la probabilidad de que los dos primeros hijos sean hombres es $\frac{1}{4}$ usando la regla del producto.

Se define el evento $h$ : nace hombre, con $P(h)=\frac{1}{2}$ .
Los nacimientos son eventos independientes, por lo que se aplica la regla del producto: $P(h \cap h)=P(h)\times P(h)$ .
Se sustituyen los valores: $P(h,h)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Respuesta

$P(h,h)=\frac{1}{4}$ .

Ejercicio 2

Completar el espacio muestral de los dos primeros hijos y calcular la probabilidad de cada evento.

El espacio muestral es $\{(h,h),(h,m),(m,h),(m,m)\}$ .
Para $(h,m)$ : $P(h,m)=P(h)\times P(m)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .
Para $(m,h)$ : $P(m,h)=P(m)\times P(h)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .
Para $(m,m)$ : $P(m,m)=P(m)\times P(m)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Respuesta

Cada evento tiene probabilidad $\frac{1}{4}$ .

Ejercicio 3

Calcular la probabilidad de que nazcan un hombre y una mujer sin importar el orden.

Los eventos favorables son $(h,m)$ y $(m,h)$ .
Se aplica la regla de la adición: $P(h,m)+P(m,h)$ .
Se sustituyen los valores: $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ .

Respuesta

$\frac{1}{2}$ .

Ejercicio 4

Describir cómo simular el fenómeno aleatorio del sexo de los dos primeros hijos con dos monedas.

Se usan dos monedas ordinarias.
Se asigna águila a hombre y sol a mujer (o viceversa).
Se repite el lanzamiento 80 veces y se registran los resultados.
Se comparan las frecuencias relativas con las probabilidades teóricas.

Respuesta orientativa: La simulación permite contrastar los resultados empíricos con los teóricos, verificando que las frecuencias se aproximan a las probabilidades calculadas.

Contenido de la página

Cuando los eventos son independientes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta es igual a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos, esto se conoce como la regla del producto. Entonces, la probabilidad de que tanto el primero, como el segundo hijo sean hombres, se obtiene multiplicando dos veces la probabilidad de ser hombre.

$P(h,h)=P(h\cap h)=P(h)\times P(h)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Esto mismo se confirma para los demás eventos que conforman el espacio muestral, cuando se consideran los dos primeros hijos de la pareja:

$P(h,m)=P(h\cap m)=P(h)\times P(m)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$P(m,h)=P(m\cap h)=P(m)\times P(h)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$P(m,m)=P(m\cap m)=P(m)\times P(m)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Dos de estos cuatro eventos ayudan a estimar la probabilidad de que nazcan un hombre y una mujer sin importar el orden, por lo tanto, la probabilidad es de dos cuartos, lo cual se puede verificar mediante el uso de la regla de la adición.

$P(h,m)+P(m,h)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

El estudio de algunos fenómenos aleatorios se realiza mediante la idea de simulación; para ello, se utilizan algunos objetos que permiten la comprensión de la idea de azar. En el caso de los nacimientos, se pueden simular utilizando dos monedas ordinarias y realizar 80 veces la repetición del fenómeno aleatorio, considerando que águila sea hombre y sol sea mujer, o viceversa.

La distinción de eventos dependientes de los que son independientes permite estimar adecuadamente la probabilidad de ocurrencia de un evento, con la finalidad de tener una mayor comprensión de la naturaleza de la idea de azar.

Además, el estudio de los eventos dependientes e independientes debe llevarse a cabo tanto con un enfoque frecuencial como con uno clásico, ya que así se pueden contrastar los resultados obtenidos de manera empírica con los resultados obtenidos de forma teórica.

Ejemplos resueltos

Calcular la probabilidad de que los dos primeros hijos sean hombres.

$P(h,h)=P(h)\times P(h)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Calcular la probabilidad de que nazcan un hombre y una mujer sin importar el orden.

$P(h,m)+P(m,h)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ .

Tabla

Evento	Probabilidad
(h,h)	1/4
(h,m)	1/4
(m,h)	1/4
(m,m)	1/4

Diagrama

graph TD
    A[Inicio] --> B[Lanzar dos monedas]
    B --> C{Resultado}
    C -->|Águila, Águila| D[hh]
    C -->|Águila, Sol| E[hm]
    C -->|Sol, Águila| F[mh]
    C -->|Sol, Sol| G[mm]
    D --> H[Registrar]
    E --> H
    F --> H
    G --> H
    H --> I[Repetir 80 veces]
    I --> J[Calcular frecuencias relativas]
    J --> K[Comparar con probabilidades teóricas]

Fórmulas y ecuaciones

$P(A\cap$ $B)=P(A)\times$ P(B) $\text{ si }$ A $\text{ y }$ B $\text{ son independientes}$

$P(A\cup$ B)=P(A)+P(B) $\text{ si }$ A $\text{ y }$ B $\text{ son mutuamente excluyentes}$

$P(h,h)=P(h\cap$ $h)=P(h)\times$ P(h)= $\frac{1}{2}@@MATH_0@@\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$

$P(h,m)=P(h\cap$ $m)=P(h)\times$ P(m)= $\frac{1}{2}@@MATH_0@@\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$

$P(m,h)=P(m\cap$ $h)=P(m)\times$ P(h)= $\frac{1}{2}@@MATH_0@@\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$

$P(m,m)=P(m\cap$ $m)=P(m)\times$ P(m)= $\frac{1}{2}@@MATH_0@@\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$

P(h,m)+P(m,h)= $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Glosario (5)

Regla del producto: Regla que establece que la probabilidad de la intersección de eventos independientes es el producto de sus probabilidades individuales.
Regla de la adición: Regla que establece que la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades.
Eventos independientes: Eventos cuya ocurrencia no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Simulación: Técnica que reproduce un fenómeno aleatorio mediante objetos o modelos para estudiar su comportamiento.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que los eventos son independientes en el ejemplo de los hijos?

Porque el sexo del primer hijo no influye en el sexo del segundo hijo; la probabilidad de cada uno es siempre 1/2.

¿Cómo se puede verificar experimentalmente la probabilidad calculada?

Realizando la simulación con monedas muchas veces y comparando la frecuencia relativa obtenida con la probabilidad teórica.

Temas y conceptos clave

Regla del productoRegla de la adiciónEventos independientesSimulación de fenómenos aleatoriosProbabilidad conjuntaIndependenciaEspacio muestralFrecuencia relativa

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