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Eventos dependientes y probabilidad condicional

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Respuesta rápida

Ejemplo 1: $P(A \mid E) = \frac{1}{3}$ . Ejemplo 2: $P(B \mid F) = \frac{1}{4}$ .

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Solución — Página 84

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1

Se lanza un dado y se quiere la probabilidad de obtener 4 sabiendo que salió un número par.

Espacio muestral del experimento: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
Evento $A$ : "sale 4" → $\Omega_{A} = \{4\}$ , cardinalidad $= 1$ .
Evento $E$ : "sale número par" → $\Omega_{E} = \{2, 4, 6\}$ , cardinalidad $= 3$ .
Se aplica la fórmula de probabilidad condicional: $P(A \mid E) = \dfrac{\text{Cardinalidad de } A}{\text{Cardinalidad de } E}$ .
Sustituyendo: $P(A \mid E) = \dfrac{1}{3}$ .

Respuesta: $P(A \mid E) = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$ .

Ejemplo 2

Al lanzar un dado, estimar la probabilidad de obtener 6 si se sabe que salió un número mayor que 2.

Evento $F$ : "sale número mayor que 2" → $\Omega_{F} = \{3, 4, 5, 6\}$ , cardinalidad $= 4$ .
Evento $B$ : "sale 6" → $\Omega_{B} = \{6\}$ , cardinalidad $= 1$ .
Se aplica la fórmula: $P(B \mid F) = \dfrac{\text{Cardinalidad de } B}{\text{Cardinalidad de } F}$ .
Sustituyendo: $P(B \mid F) = \dfrac{1}{4}$ .

Respuesta: $P(B \mid F) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ .

Contenido de la página

Eventos dependientes

Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno influye en el resultado del otro. Es importante reconocer sus características para estimar correctamente la probabilidad de ocurrencia de algunos resultados del espacio muestral de un fenómeno aleatorio, ya que cuando el azar está presente no hay certeza de qué va a ocurrir y sólo se puede tener una idea aproximada.

La probabilidad permite estimar la ocurrencia de un evento para tener una idea de qué resultado es más o menos probable.

Ejemplo 1

Se lanzó un dado ordinario, se quiere saber la probabilidad de obtener un cuatro en su cara superior, una pista es que salió un número par.

El espacio muestral del fenómeno aleatorio se denota con $\Omega$ :

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Se definen los eventos $A$ y $E$ como "lanzar un dado y que el resultado sea 4" y "lanzar un dado y que el resultado sea un número par", respectivamente:

$\Omega_{A} = \{4\} \qquad \Omega_{E} = \{2, 4, 6\}$

La cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. La cardinalidad del espacio muestral del evento $E$ tiene tres resultados posibles, mientras que la del evento $A$ es de sólo un resultado. La probabilidad de que en el dado haya caído 4 condicionada a que se obtuvo un número par, $P(A \mid E)$ , se estima así:

$P(A \mid E) = \frac{\text{Cardinalidad de } A}{\text{Cardinalidad de } E} = \frac{1}{3}$

Ejemplo 2

Al lanzar un dado, se desea estimar la probabilidad de obtener un 6, si se sabe que salió un número mayor que 2.

Se define con $F$ al evento "lanzar un dado y que el resultado sea mayor que 2", cuyo espacio muestral es $\{3, 4, 5, 6\}$ :

$\Omega_{F} = \{3, 4, 5, 6\}$

Ejemplos resueltos

Se lanzó un dado ordinario, se quiere saber la probabilidad de obtener un cuatro en su cara superior, una pista es que salió un número par.

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ ; $\Omega_{A}=\{4\}$ (cardinalidad 1); $\Omega_{E}=\{2,4,6\}$ (cardinalidad 3). $P(A \mid E)=\frac{1}{3}$ .

Al lanzar un dado, se desea estimar la probabilidad de obtener un 6, si se sabe que salió un número mayor que 2.

$\Omega_{F}=\{3,4,5,6\}$ (cardinalidad 4); evento "sale 6" tiene cardinalidad 1. $P(6 \mid F)=\frac{1}{4}$ .

Tabla

Evento	Descripción	Espacio muestral	Cardinalidad
A	Sale 4	{4}	1
E	Sale número par	{2, 4, 6}	3
F	Sale número mayor que 2	{3, 4, 5, 6}	4

Diagrama

graph TD
  A[Fenómeno aleatorio: lanzar un dado] --> B[Espacio muestral Ω = 1,2,3,4,5,6]
  B --> C[Evento A: sale 4]
  B --> D[Evento E: sale número par]
  C --> E[P(A|E) = 1/3]
  D --> E

Fórmulas y ecuaciones

P(A $\mid$ E) = $\frac{\text{Cardinalidad de } A}{\text{Cardinalidad de } E}$

$\Omega$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\Omega_{A}$ = {4}

$\Omega_{E}$ = {2, 4, 6}

P(A $\mid$ E) = $\frac{\text{Cardinalidad de } A}{\text{Cardinalidad de } E}$

P(A $\mid$ E) = $\frac{1}{3}$

$\Omega_{F}$ = {3, 4, 5, 6}

Glosario (5)

Eventos dependientes: Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno influye en el resultado del otro.
Espacio muestral (Ω): Conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio.
Cardinalidad: Número de elementos que contiene un conjunto.
Probabilidad condicional P(A|E): Probabilidad de que ocurra el evento A sabiendo que ya ocurrió el evento E.
Fenómeno aleatorio: Experimento cuyo resultado no puede predecirse con certeza.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que dos eventos son dependientes?

Porque la ocurrencia de uno modifica la probabilidad de ocurrencia del otro. En el ejemplo del dado, saber que salió un número par reduce el espacio muestral de 6 a 3 resultados, cambiando la probabilidad de obtener 4.

Temas y conceptos clave

Eventos dependientesProbabilidad condicionalEspacio muestralEvento dependienteEspacio muestral ΩCardinalidadProbabilidad condicional P(A|E)

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📌 Antes de leer esto

• Conjuntos y notación de conjuntos
• Cardinalidad de un conjunto
• Fracciones y simplificación
• Concepto básico de probabilidad

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Eventos independientes y regla del producto

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Eventos dependientes

Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno influye en el resultado del otro. En este sentido, es importante reconocer las características de los eventos dependientes, con la fi nalidad de estimar de forma correcta la probabilidad de ocurrencia de algunos resultados del espacio muestral de un fenómeno aleatorio, ya que cuando el azar está presente no hay certeza de qué va a ocurrir y sólo se puede tener una idea aproximada.

La probabilidad permite estimar la ocurrencia de un evento para tener una idea de qué resultado es más o menos probable.

Ejemplo 1

Se lanzó un dado ordinario, se quiere saber la probabilidad de obtener un cuatro en su cara superior, una pista es que salió un número par.

Lo primero que se debe tener en cuenta es el espacio muestral del fenómeno aleatorio, el cual se denota con el símbolo Ω. A continuación, se presentan de forma extensiva todos y cada uno de los posibles resultados del experimento "lanzar un dado".

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Ahora, si se definen los eventos A y E como "lanzar un dado y que el resultado sea $4y$ "lanzar un dado y que el resultado sea un número $\mathrm{par}$ , respectivamente, tienen como espacios muestrales los siguientes conjuntos:

$\Omega_{A}=\{\hat{4}\}\quad\Omega_{F}=\{2,4,6\}$

La cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. Por lo tanto, la cardinalidad del espacio muestral del evento E tiene tres resultados posibles, mientras que la cardinalidad del espacio muestral del evento A es de sólo un resultado. Por lo tanto,la probabilidad de que en el dado haya caido 4 y se condiciona al hecho de que se obtuvo un número par, representado por $P(A\mid\dot{E})$ 1, se estima de la siguiente manera simplifi cada:

$P(A\mid E)=\frac{\mathrm{Cardinalidad\ de}A}{\mathrm{Cardinalidad\ de}E}$

Ejemplo 2

Al lanzar un dado, se desea estimar la probabilidad de obtener un 6,si se sabe que salió un número mayor que 2.

En este caso, se define con F al evento "lanzar un dado y que el resultado sea mayor que $2''$ , el cual tiene como espacio muestral al conjunto de todos aquellos números mayores que $2,$ ,es decir, {3,4,5, 6}. Enseguida, se representa de forma extensiva:

$\Omega_{F}=\{3,4,5,6\}$

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