Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Probabilidad condicional y cálculo de la ocurrencia simultánea de eventos dependientes

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Respuesta rápida

$P(B \mid F)=\frac{1}{4}$ ; $P(A \mid E)=\frac{1}{3}$ ; $P(B \mid F)=\frac{1}{4}$ . El símbolo $\cap$ significa intersección.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 85

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Calcular $P(B \mid F)$ usando la definición por cardinalidad, sabiendo que $B=\{6\}$ y $F$ tiene 4 resultados posibles.

Se identifica la cardinalidad del evento $B$ : $|B| = 1$ .
Se identifica la cardinalidad del espacio muestral condicionado $F$ : $|F| = 4$ .
Se aplica la definición simplificada:

$P(B \mid F) = \frac{|B|}{|F|} = \frac{1}{4}$

Respuesta

$P(B \mid F) = \dfrac{1}{4}$ .

Ejercicio 2

Calcular $P(A \mid E)$ mediante la fórmula de probabilidad condicional, con $P(A \cap E) = \dfrac{1}{6}$ y $P(E) = \dfrac{3}{6}$ .

Se escribe la fórmula: $P(A \mid E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(E)}$ .
Se sustituyen los valores: $P(A \mid E) = \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}$ .
Se simplifica la fracción compleja multiplicando extremos y medios: $P(A \mid E) = \dfrac{(1)(6)}{(3)(6)}$ .
Se cancelan los $6$ : $P(A \mid E) = \dfrac{1}{3}$ .

Respuesta

$P(A \mid E) = \dfrac{1}{3}$ .

Ejercicio 3

Calcular $P(B \mid F)$ mediante la fórmula de probabilidad condicional, con $P(B \cap F) = \dfrac{1}{6}$ y $P(F) = \dfrac{4}{6}$ .

Se escribe la fórmula: $P(B \mid F) = \dfrac{P(B \cap F)}{P(F)}$ .
Se sustituyen los valores: $P(B \mid F) = \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}$ .
Se simplifica: $P(B \mid F) = \dfrac{(1)(6)}{(4)(6)}$ .
Se cancelan los $6$ : $P(B \mid F) = \dfrac{1}{4}$ .

Respuesta

$P(B \mid F) = \dfrac{1}{4}$ .

Ejercicio 4

Interpretar el significado del símbolo $\cap$ en la expresión $P(B \cap F)$ .

El símbolo $\cap$ denota la intersección de conjuntos.
En probabilidad, $B \cap F$ representa el evento en que ocurren simultáneamente $B$ y $F$ .
Por tanto, $P(B \cap F)$ es la probabilidad de la ocurrencia simultánea de ambos eventos.

Respuesta

$\cap$ significa "intersección" y $P(B \cap F)$ es la probabilidad de que ocurran $B$ y $F$ a la vez.

Contenido de la página

Si ahora se define al evento $B$ como "lanzar un dado y que el resultado sea $6$ ", sólo hay un resultado posible, por lo cual su espacio muestral es: $\Omega_{B}=\{6\}$ . Así, la probabilidad representada por $P(B \mid F)$ , se estima de la siguiente manera simplificada:

$P(B \mid F)=\frac{\text{Cardinalidad de } B}{\text{Cardinalidad de } F}=\frac{1}{4}$

En teoría de conjuntos, la probabilidad condicional se representa mediante la expresión siguiente:

$P(B \mid F)=\frac{P(B \cap F)}{P(F)}$

Aquí el símbolo $\cap$ significa "intersección".

Lo anterior significa que se debe calcular la probabilidad de la intersección de ambos eventos y dividirla entre la probabilidad del otro evento. En la tabla siguiente se muestra el cálculo para los dos ejemplos desarrollados:

Cálculo de la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos dependientes a partir de la probabilidad condicional

$P(A \mid E)=\dfrac{P(A \cap E)}{P(E)}$	$P(B \mid F)=\dfrac{P(B \cap F)}{P(F)}$
1. Se sustituyen las probabilidades correspondientes: $P(A \mid E)=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}$	1. Se sustituyen las probabilidades correspondientes: $P(B \mid F)=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}$
2. Se simplifican las probabilidades, aplicando las propiedades de las proporciones: $P\left(\dfrac{A}{E}\right)=\dfrac{(1)(6)}{(3)(6)}=\dfrac{1}{3}$	2. Se simplifican las probabilidades, aplicando las propiedades de las proporciones: $P\left(\dfrac{B}{F}\right)=\dfrac{(1)(6)}{(4)(6)}=\dfrac{1}{4}$

Ejemplos resueltos

Calcular $P(A \mid E)$ si $P(A \cap E)=\frac{1}{6}$ y $P(E)=\frac{3}{6}$ .

Se sustituye en la fórmula: $P(A \mid E)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}$ . Al simplificar: $P(A \mid E)=\frac{(1)(6)}{(3)(6)}=\frac{1}{3}$ .

Calcular $P(B \mid F)$ si $P(B \cap F)=\frac{1}{6}$ y $P(F)=\frac{4}{6}$ .

Se sustituye en la fórmula: $P(B \mid F)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}$ . Al simplificar: $P(B \mid F)=\frac{(1)(6)}{(4)(6)}=\frac{1}{4}$ .

Tabla

$P(A \mid E)=\dfrac{P(A \cap E)}{P(E)}$	$P(B \mid F)=\dfrac{P(B \cap F)}{P(F)}$
1. Se sustituyen las probabilidades correspondientes: $P(A \mid E)=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}$	1. Se sustituyen las probabilidades correspondientes: $P(B \mid F)=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}$
2. Se simplifican las probabilidades, aplicando las propiedades de las proporciones: $P\left(\dfrac{A}{E}\right)=\dfrac{(1)(6)}{(3)(6)}=\dfrac{1}{3}$	2. Se simplifican las probabilidades, aplicando las propiedades de las proporciones: $P\left(\dfrac{B}{F}\right)=\dfrac{(1)(6)}{(4)(6)}=\dfrac{1}{4}$

Fórmulas y ecuaciones

P(B $\mid$ F)= $\frac{P(B \cap F)}{P(F)}$

P(A $\mid$ E)= $\frac{P(A \cap E)}{P(E)}$

P(B $\mid$ F)= $\frac{\text{Cardinalidad de } B}{\text{Cardinalidad de } F}$ = $\frac{1}{4}$

P(B $\mid$ F)= $\frac{P(B \cap F)}{P(F)}$

P(A $\mid$ E)= $\frac{P(A \cap E)}{P(E)}$

P(A $\mid$ E)= $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}$

P(B $\mid$ F)= $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}$

$P\left(@@MATH_0@@\right)=$ $\frac{(1)(6)}{(3)(6)}$ = $\frac{1}{3}$

$P\left(@@MATH_0@@\right)=$ $\frac{(1)(6)}{(4)(6)}$ = $\frac{1}{4}$

Glosario (5)

Probabilidad condicional: Probabilidad de que ocurra un evento sabiendo que ya ocurrió otro.
Intersección: Conjunto de resultados que pertenecen simultáneamente a dos o más eventos; se denota con $\cap$.
Cardinalidad: Número de elementos que contiene un conjunto.
Eventos dependientes: Eventos en los que la ocurrencia de uno afecta la probabilidad del otro.
Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Preguntas para practicar

¿Por qué en la tabla se dice que los eventos son dependientes?

Porque la probabilidad de que ocurra uno de los eventos cambia cuando se sabe que el otro ya ocurrió; por eso se usa la probabilidad condicional y no simplemente el producto de probabilidades simples.

Temas y conceptos clave

Probabilidad condicionalCálculo de la ocurrencia simultánea de eventos dependientesProbabilidad condicionalIntersecciónCardinalidadEventos dependientesEspacio muestral

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es la probabilidad condicional y cómo se calcula?

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¿Cuál es la diferencia entre eventos dependientes e independientes?

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¿Cómo se calcula la probabilidad de la intersección de dos eventos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de probabilidad clásica
• Operaciones con fracciones
• Nociones básicas de teoría de conjuntos
• Espacio muestral y eventos

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Probabilidad de eventos independientes y regla del producto

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1611 caracteres

Si ahora se defi ne al evento B como "lanzar un dado y que el resultado sea $6^{\twoheadrightarrow}$ , sólo hay un resultado posible, por lo cual su espacio muestral es: $\Omega_{B}=\{6\}$ . Así, la probabilidad representada por $P(B\mid F)$ 1,se estima de la siguiente manera simplifi cada:

$P(B\mid F)=\frac{\mathrm{Cardinalidad\ de}B}{\mathrm{Cardinalidad\ de}F}=\frac{1}{4}$

En teora de conjuntos, la probabilidad condicional se representa mediante la expresión siguiente:

$P(B\mid F)=\frac{P(B\cap F)}{P(F)}$

Aquí el símbolo ∩ significa "intersección".

Lo anterior signifca que se debe calcular la probabilidad de la intersección de ambos eventos y dividirla entre la probabilidad del otro evento. En la tabla siguiente se muestra el cálculo para los dos ejemplos desarrollados:

Cálculo de la probabilidad de la ocurrencia simultánea

de dos eventos dependientes a partir de la probabilidad condicional

$P(A\mid E)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}$	$P(B\mid F)=\frac{P(B\cap F)}{P(F)}$
1. Se sustituyen las probabilidades correspondientes: $P(A\mid E)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}$	1. Se sustituyen las probabilidades correspondientes: $P(B\mid F)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}}$
2. Se simplifican las probabilidades, aplicando las propiedades de las proporciones: $P\left(\frac{A}{E}\right)=\frac{(1)(6)}{(3)(6)}=\frac{1}{3}$	2. Se simplifican las probabilidades, aplicando las propiedades de las proporciones: $P\left(\frac{B}{F}\right)=\frac{(1)(6)}{(4)(6)}=\frac{1}{4}$