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Media aritmética y mediana para datos no agrupados

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Respuesta rápida

$\bar{x}=8.45$ ; con un $0$ : $\bar{x}=7.95$ . Posición de la mediana: $\frac{n+1}{2}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 103

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1

Cálculo de la media aritmética para un conjunto de datos no agrupados. Un maestro desea conocer el promedio general de los estudiantes de primer año de secundaria. Las calificaciones son las siguientes:

10	9	10	9	8
7	8	9	8	8
9	9	8	7	9
8	7	8	9	9

Se identifican los 20 datos: $10, 9, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 8, 9, 9$ .
Se aplica la fórmula de la media aritmética: $\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}$
Se sustituyen los valores: $\bar{x} = \frac{10+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20}$
Se suma el numerador: $10+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9 = 169$ .
Se divide entre el número de datos: $\bar{x} = \frac{169}{20} = 8.45$

Respuesta: La media aritmética es $\bar{x} = 8.45$ .

Ejemplo 1 (continuación): sensibilidad a valores extremos

Si se cambia la primera calificación por un $0$ , la media aritmética es:

Se reemplaza el primer dato: $0, 9, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 8, 9, 9$ .
Se sustituye en la fórmula: $\bar{x} = \frac{0+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20}$
Se suma el numerador: $0+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9 = 159$ .
Se divide: $\bar{x} = \frac{159}{20} = 7.95$

Respuesta: La nueva media aritmética es $\bar{x} = 7.95$ . La media es sensible a los valores extremos.

Mediana $(\tilde{x}$ o $Me)$

Para obtenerla primero se ordenan los datos, ya sea de mayor a menor o de menor a mayor. La mediana es el valor que divide la lista de datos ordenados en dos partes iguales. Por tal motivo, la cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana deben ser iguales.

Es fácil encontrar el valor de la mediana si la cantidad de términos es impar; si es par, se obtiene al calcular el promedio de los dos datos centrales.

La posición de la mediana se obtiene con la siguiente fórmula:

$\text{Posición de la mediana} = \frac{n+1}{2}$

Respuesta orientativa: Con $n=20$ , la posición es $\frac{20+1}{2} = 10.5$ , por lo que la mediana es el promedio de los datos en las posiciones 10 y 11 de la lista ordenada.

Contenido de la página

Ejemplo 1

10	9	10	9	8
7	8	9	8	8
9	9	8	7	9
8	7	8	9	9

Solución

Aplicando la fórmula, se obtiene:

$\bar{x} = \frac{10+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20} = 8.45$

La media aritmética es sensible a los valores extremos cuando se tratan pocos datos; por ejemplo, si cambia la primera calificación por un 0, la media aritmética es:

$\bar{x} = \frac{0+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20} = 7.95$

En ocasiones, el conjunto de datos es mucho más grande. En estos casos se recomienda hacer una tabla que incluya la frecuencia con la que se repiten.

Mediana $(\tilde{x}$ o $Me)$

Es fácil encontrar el valor de la mediana si la cantidad de términos es impar; si es par, se obtiene al calcular el promedio de los dos datos centrales.

La posición de la mediana se obtiene con la siguiente fórmula:

$\text{Posición de la mediana} = \frac{n+1}{2}$

Ejemplos resueltos

Un maestro desea conocer el promedio general de los estudiantes de primer año de secundaria. Las calificaciones son: 10, 9, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 8, 9, 9.

$\bar{x} = \frac{10+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20} = \frac{169}{20} = 8.45$

Si cambia la primera calificación por un 0, ¿cuál es la media aritmética?

$\bar{x} = \frac{0+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20} = \frac{159}{20} = 7.95$

Tabla

10	9	10	9	8
7	8	9	8	8
9	9	8	7	9
8	7	8	9	9

Fórmulas y ecuaciones

$\bar{x}$ = $\frac{\sum x_{i}}{n}$

$\text{Posición de la mediana}$ = $\frac{n+1}{2}$

$\bar{x}$ = $\frac{\sum x_{i}}{n}$

$\text{Posición de la mediana}$ = $\frac{n+1}{2}$

Glosario (5)

Media aritmética: Cociente entre la suma de todos los datos y el número total de datos.
Mediana: Valor que divide una lista ordenada de datos en dos partes iguales.
Datos no agrupados: Datos que se presentan de forma individual, sin organizarse en intervalos.
Valor extremo: Dato muy alejado del resto que puede afectar la media aritmética.
Frecuencia: Número de veces que se repite un dato en un conjunto.

Preguntas para practicar

¿Por qué la media aritmética es sensible a los valores extremos?

Porque la media considera todos los datos en su suma; un valor muy alto o muy bajo altera el total y, por tanto, el cociente. En el ejemplo, cambiar un 10 por 0 redujo la media de 8.45 a 7.95. La mediana, en cambio, no se ve afectada por valores extremos.

Temas y conceptos clave

Media aritméticaMedianaDatos no agrupadosMedidas de tendencia centralMedia aritméticaMedianaPosición de la medianaValores extremosFrecuencia

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la media aritmética de datos no agrupados?

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¿Qué diferencia hay entre media aritmética y mediana?

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¿Cómo afectan los valores extremos a la media aritmética?

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📌 Antes de leer esto

• Suma y división de números naturales
• Ordenar números de menor a mayor
• Concepto de promedio

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Cálculo de la mediana para datos no agrupados con cantidad par e impar de datos

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Ejemplo 1

Cálculo de la media aritmética para un conjunto de datos no agrupados.Un maestro desea conocer el promedio general de los estudiantes de primer ano de secundaria. Las calificaciones son las siguientes:

Solución

Aplicando la fórmula, se obtiene:

$\frac{10+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20}=8.45$

La media aritmética es sensible a los valores extremos cuando se tratan pocos datos;por ejemplo, si cambia la primera calificación por un 0, la media aritmética es:

$\frac{0+9+10+9+8+7+8+9+8+8+9+9+8+7+9+8+7+8+9+9}{20}=7.95$

En ocasiones, el conjunto de datos es mucho más grande. En estos casos se recomienda hacer una tabla que incluya la frecuencia con la que se repiten.

Mediana $(\stackrel{\sim}{x}0M e)$

Es fácil encontrar el valor de la mediana si la cantidad de términos es impar;si es par, se obtiene al calcular el promedio de los dos datos centrales.

La posición de la mediana se obtiene con la siguiente fórmula:

$\mathrm{Posici^{\prime}n~de~la~median}=\frac{n+1}{2}$

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