Ángulos coterminales, radianes y suma de ángulos
Respuesta rápida
Coterminales: \theta \pm 360^\circ. Radianes: \frac{\pi}{2}=90^\circ, 2\pi=360^\circ. Triángulo: \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.
Solución — Página 58
Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Concepto: ángulos coterminales
Dos ángulos son coterminales cuando, representados en el mismo plano cartesiano, sus lados terminales coinciden aunque sus magnitudes y sentidos de rotación sean distintos.
- Un giro completo equivale a 360^\circ.
- Si se suma o resta 360^\circ al ángulo \theta, el lado terminal no cambia:
\theta, \quad \theta + 360^\circ, \quad \theta - 360^\circ
- Ejemplo de la imagen: -270^\circ y 90^\circ son coterminales porque -270^\circ + 360^\circ = 90^\circ.
Respuesta: \theta y \theta \pm 360^\circ son coterminales.
Concepto: sentido de rotación
- Giro en contra de las manecillas del reloj \Rightarrow ángulo positivo.
- Giro a favor de las manecillas del reloj \Rightarrow ángulo negativo.
- Cada giro extra agrega 360^\circ: \theta + 360^\circ k, con k \in \mathbb{Z}.
Respuesta: el signo indica el sentido; la magnitud, cuánto giró.
Concepto: radianes
- La unidad es una fracción de \pi.
- Equivalencia base: \frac{\pi}{2} = 90^\circ.
- Vuelta completa: 2\pi = 360^\circ.
- Conversión: 180^\circ = \pi rad.
Respuesta: \frac{\pi}{2}=90^\circ, -\frac{\pi}{2}=-90^\circ, \pi=180^\circ, 3\pi=540^\circ.
Concepto: polígonos y suma de ángulos
- La unión de puntos forma polígonos; con seis vértices se llama hexágono.
- Un hexágono tiene seis ángulos interiores, adyacentes u opuestos.
- Suma de ángulos internos de un triángulo:
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
- Por ello, conociendo dos ángulos se obtiene el tercero: \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B.
Respuesta: la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180^\circ.
Contenido de la página
Si se representan ambos ángulos en el mismo plano cartesiano, sus lados terminan en el mismo punto y coinciden sus lados en el eje y, pero con una magnitud de -270^\circ y 90^\circ a razón del sentido de rotación; en este caso se dice que son ángulos coterminales.
Para distinguir un ángulo del cual no se conoce su magnitud se utiliza la letra griega theta (\theta), tal como se muestra a continuación para los ángulos \theta, \theta + 360^\circ y \theta - 360^\circ.
Por lo general, es recomendable observar la rotación de los lados de un ángulo, ya que pueden terminar en el mismo lugar, pero tener diferente magnitud con base en el sentido en el que giran: si es en contra de las manecillas del reloj, es positiva; si es a favor, es negativa. Si una recta da un giro completo, su magnitud es de 360^\circ; por cada giro extra se agregan otros 360^\circ.
Existen otras notaciones para medir un ángulo, como es el caso de los radianes, en los que las unidades son fracciones del número \pi. En este caso \frac{\pi}{2} equivale a 90^\circ; por lo tanto, una vuelta completa se representa por 2\pi. En las siguientes figuras se muestran algunas representaciones de ángulos en radianes.
La construcción de figuras básicas planas parte de la unión de un conjunto de puntos; las rectas que los unen forman polígonos, donde el número de lados que se pueden formar depende de la cantidad de puntos. Con seis vértices se llama hexágono; por lo tanto, contiene seis ángulos en su interior, los cuales pueden ser adyacentes u opuestos.
Los ángulos también se suman, lo que es de gran utilidad para determinar la magnitud de los demás. Por ejemplo, se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180^\circ; por lo cual, solo es necesario conocer dos de ellos para saber la magnitud del tercero.
Ejemplos resueltos
Verifica que -270^\circ y 90^\circ son coterminales.
Sumamos un giro completo a -270^\circ: -270^\circ + 360^\circ = 90^\circ. Como el resultado coincide con el otro ángulo, son coterminales.
Expresa \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \pi y 3\pi en grados.
Usando \pi = 180^\circ: \frac{\pi}{2} = 90^\circ; -\frac{\pi}{2} = -90^\circ; \pi = 180^\circ; 3\pi = 540^\circ.
Tabla
| Grados | Radianes |
|---|---|
| 90° | π/2 |
| -90° | -π/2 |
| 180° | π |
| 360° | 2π |
| 540° | 3π |
Diagrama
timeline
title Ángulos coterminales
0° : Ángulo inicial θ
360° : θ + 360° (mismo lado terminal)
-360° : θ - 360° (mismo lado terminal)
Fórmulas y ecuaciones
\theta \pm 360^\circ k, \; k \in \mathbb{Z}
\frac{\pi}{2} = 90^\circ
2\pi = 360^\circ
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\theta + 360^\circ
\theta - 360^\circ
\frac{\pi}{2} = 90^\circ
2\pi = 360^\circ
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
Glosario (6)
- Ángulo coterminal
- Ángulo que comparte el mismo lado terminal con otro, diferenciándose en un múltiplo de 360°.
- Theta (θ)
- Letra griega usada para representar un ángulo de magnitud desconocida.
- Radián
- Unidad de medida angular basada en fracciones de π; π/2 equivale a 90°.
- Hexágono
- Polígono de seis lados y seis vértices, con seis ángulos interiores.
- Ángulos adyacentes
- Ángulos que comparten un lado y un vértice.
- Ángulos opuestos
- Ángulos formados por dos rectas que se cruzan y no comparten lados.
Preguntas para practicar
¿Por qué dos ángulos coterminales pueden tener distinta magnitud?
Porque uno puede incluir giros completos adicionales (o giros en sentido contrario) antes de detenerse en el mismo lado terminal. La posición final coincide, pero el recorrido angular es diferente. Por eso se diferencian en múltiplos de 360°.
¿Qué ventaja tiene medir ángulos en radianes?
Los radianes relacionan directamente la longitud del arco con el radio y simplifican muchas fórmulas del cálculo y la física. Además, permiten expresar ángulos como fracciones exactas de π, evitando aproximaciones decimales.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Qué son los ángulos coterminales y cómo se calculan?
¿Cómo convertir grados a radianes y radianes a grados?
¿Cuánto suman los ángulos internos de un triángulo y de un hexágono?
- • Ángulos y su medición en grados
- • Plano cartesiano
- • Sentido de giro (horario y antihorario)
- • Número π
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1892 caracteres
Si se representan ambos ángulos en el mismo plano cartesiano, sus lados terminan en el mismo punto y coinciden sus lados en el eje y, pero con una magnitud \mathrm{de}-270^{\circ}\mathrm{y} 90° a razón del sentido de rotación, en este caso se dice que son dngulos coterminales.
Para distinguir un ángulo del cual no se conoce su magnitud se utiliza la letra griega theta (0), tal como se muestra a continuación para los ángulos \theta,\theta+360^{\circ}\mathrm{~y}\theta-360^{\circ}
Por lo general, es recomendable observar la rotación de los lados de un ángulo, ya que pueden terminar en el mismo lugar, pero tener diferente magnitud con base en el sentido en el que giran: si es en contra de las manecillas del reloj, es positiva; si es a favor, es negativa. Si una recta da un giro completo, su magnitud es de 360°, por cada giro extra se agregan otros 360°.
Existen otras notaciones para medir un ángulo, como es el caso de los radianes, en los que las unidades son fracciones del número π. En este caso \frac{\pi}{2} equivale a 90°,por lo tanto, una vuelta completa se representa por 2π. En las siguientes figuras se muestran algunas representaciones de ángulos en radianes.
La construcción de figuras básicas planas parte de la unión de un conjunto de puntos;las rectas que los unen forman poligonos, donde el número de lados que se pueden formar depende de la cantidad de puntos, con seis vértices se llama hexágono, por lo tanto, contiene seis ángulos en su interior, los cuales pueden ser adyacentes u opuestos.
Los ángulos también se suman, lo que es de gran utilidad para determinar la magnitud de los demás, por ejemplo, se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, por lo cual, sólo es necesario conocer dos de ellos para saber la magnitud del tercero.
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