Calcula seno, coseno y tangente de G en el mismo triángulo.

seno G = 6/10, coseno G = 8/10, tangente G = 6/8

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente

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Ejemplo: seno ∠H = 8/10, coseno ∠H = 6/10, tangente ∠H = 8/6. Ej1: 6²+8²=10². Ej2: sen G=6/10, cos G=8/10, tg G=6/8. Ej3: suma de cuadrados = 1.

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Solución — Página 111

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Contenido de la página

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos, usando el criterio de semejanza de triángulos.

Elementos de un triángulo rectángulo

Catetos: los dos lados que forman el ángulo de $90^\circ$ .
Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo de $90^\circ$ ; siempre es el lado de mayor longitud.

Respecto a un ángulo elegido (por ejemplo, $\angle A$ ):

Un cateto es opuesto al ángulo.
El otro cateto es adyacente (forma parte del ángulo).

Definición de las razones trigonométricas para $\angle A$

$\text{seno } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{CO}}{\text{HIP}}$

$\text{coseno } \angle A = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{CA}}{\text{HIP}}$

$\text{tangente } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} = \frac{\text{CO}}{\text{CA}}$

Ejemplo resuelto: razones trigonométricas de $\angle H$

Triángulo rectángulo $HFG$ , con vértice del ángulo recto en $F$ : cateto vertical $HF = 6 \, \text{cm}$ (adyacente a $\angle H$ ), cateto horizontal $FG = 8 \, \text{cm}$ (opuesto a $\angle H$ ) e hipotenusa $HG = 10 \, \text{cm}$ .

Identificar los lados respecto a $\angle H$ :
- Cateto opuesto (CO) $= FG = 8 \, \text{cm}$
- Cateto adyacente (CA) $= HF = 6 \, \text{cm}$
- Hipotenusa (HIP) $= HG = 10 \, \text{cm}$
Seno de $\angle H$ :

$\text{seno } \angle H = \frac{\text{CO}}{\text{HIP}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$

Coseno de $\angle H$ :

$\text{coseno } \angle H = \frac{\text{CA}}{\text{HIP}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6$

Tangente de $\angle H$ :

$\text{tangente } \angle H = \frac{\text{CO}}{\text{CA}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

Respuesta

$\text{seno } \angle H = \frac{8}{10}$ , $\text{coseno } \angle H = \frac{6}{10}$ , $\text{tangente } \angle H = \frac{8}{6}$ .

Ejercicio 1

Comprueba con el teorema de Pitágoras que el triángulo $HFG$ del ejemplo es rectángulo.

Aplicamos el teorema de Pitágoras: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
Sustituimos: $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ .
Comparamos con el cuadrado de la hipotenusa: $10^{2} = 100$ .
Como $36 + 64 = 100$ , la igualdad se cumple.

Respuesta

$6^{2} + 8^{2} = 10^{2}$ , por lo que el triángulo es rectángulo.

Ejercicio 2

Si se elige ahora el $\angle G$ del mismo triángulo ( $HF = 6 \, \text{cm}$ , $FG = 8 \, \text{cm}$ , $HG = 10 \, \text{cm}$ ), calcula seno, coseno y tangente de $\angle G$ .

Respecto a \angle G los lados cambian de nombre:
- Cateto opuesto (CO) $= HF = 6 \, \text{cm}$
- Cateto adyacente (CA) $= FG = 8 \, \text{cm}$
- Hipotenusa (HIP) $= HG = 10 \, \text{cm}$
Seno: $\text{seno } \angle G = \frac{\text{CO}}{\text{HIP}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
Coseno: $\text{coseno } \angle G = \frac{\text{CA}}{\text{HIP}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .
Tangente: $\text{tangente } \angle G = \frac{\text{CO}}{\text{CA}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

Respuesta

$\text{seno } \angle G = \frac{6}{10}$ , $\text{coseno } \angle G = \frac{8}{10}$ , $\text{tangente } \angle G = \frac{6}{8}$ .

Ejercicio 3

Verifica la identidad $\text{sen}^{2}\theta + \text{cos}^{2}\theta = 1$ con los valores de $\angle H$ .

$\text{seno } \angle H = \frac{8}{10}$ , entonces $\text{sen}^{2} \angle H = \left(\frac{8}{10}\right)^{2} = \frac{64}{100}$ .
$\text{coseno } \angle H = \frac{6}{10}$ , entonces $\text{cos}^{2} \angle H = \left(\frac{6}{10}\right)^{2} = \frac{36}{100}$ .
Sumamos: $\frac{64}{100} + \frac{36}{100} = \frac{100}{100} = 1$ .

Respuesta

$\left(\frac{8}{10}\right)^{2} + \left(\frac{6}{10}\right)^{2} = 1$ , la identidad se cumple.

Contenido de la página

Razones trigonométricas seno, coseno y tangente

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos a partir del criterio de semejanza de triángulos, y es muy útil para conocer las razones y las proporciones entre las medidas de los lados correspondientes en los triángulos rectángulos.

Así, los lados de un triángulo tienen una particularidad en relación con el ángulo al cual se aplicarán las razones trigonométricas: si en el triángulo de la figura se elige el $\angle A$ , un cateto está opuesto a él y el otro cateto es adyacente, es decir, es uno de los lados que lo forman. Así, las razones trigonométricas para dicho ángulo se obtienen del siguiente modo:

$\text{seno } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{CO}}{\text{HIP}}$

$\text{coseno } \angle A = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{CA}}{\text{HIP}}$

$\text{tangente } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} = \frac{\text{CO}}{\text{CA}}$

Por ejemplo, si en el siguiente triángulo rectángulo se hace referencia al ángulo del vértice $H$ , las razones trigonométricas que lo definen quedan determinadas de la siguiente manera:

$\text{seno } \angle H = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{8}{10}$

$\text{coseno } \angle H = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{6}{10}$

$\text{tangente } \angle H = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} = \frac{8}{6}$

Ejemplos resueltos

En el triángulo rectángulo $HFG$ ( $HF = 6 \, \text{cm}$ , $FG = 8 \, \text{cm}$ , $HG = 10 \, \text{cm}$ ), determina las razones trigonométricas de $\angle H$ .

CO $= 8$ , CA $= 6$ , HIP $= 10$ . Por lo tanto: $\text{seno } \angle H = \frac{8}{10}$ , $\text{coseno } \angle H = \frac{6}{10}$ y $\text{tangente } \angle H = \frac{8}{6}$ .

Tabla

Razón	Definición	Siglas
Seno	Cateto Opuesto / Hipotenusa	CO/HIP
Coseno	Cateto Adyacente / Hipotenusa	CA/HIP
Tangente	Cateto Opuesto / Cateto Adyacente	CO/CA

Diagrama

graph LR
  A[Vértice A] --- B[Vértice B]
  B --- C[Vértice C]
  A --- C
  style B fill:#f9f,stroke:#333

Fórmulas y ecuaciones

$\text{seno } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$

$\text{coseno } \angle A = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$

$\text{tangente } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$

$\text{seno }$ $\angle$ A = $\frac{\text{CO}}{\text{HIP}}$

$\text{coseno }$ $\angle$ A = $\frac{\text{CA}}{\text{HIP}}$

$\text{tangente }$ $\angle$ A = $\frac{\text{CO}}{\text{CA}}$

$a^{2}$ + $b^{2}$ = $c^{2}$

$\text{sen}@@MATH_0@@^{2}\theta$ = 1

Glosario (6)

Trigonometría: Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto ($90^\circ$) de un triángulo rectángulo.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto; es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
Cateto opuesto: Cateto que no forma parte del ángulo considerado y se encuentra frente a él.
Cateto adyacente: Cateto que forma parte del ángulo considerado (junto con la hipotenusa).
Razón trigonométrica: Cociente que se obtiene al dividir dos lados de un triángulo rectángulo (seno, coseno o tangente).

Temas y conceptos clave

TrigonometríaRazones trigonométricasSenCosenTangenteTriángulo rectángulocateto opuestocateto adyacentehipotenusarazón trigonométricasemejanza de triángulos

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📌 Antes de leer esto

• Triángulo rectángulo y sus elementos
• Teorema de Pitágoras
• Concepto de razón o cociente entre cantidades
• Fracciones y simplificación

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Uso de la calculadora científica para obtener el valor de las razones trigonométricas y determinación de ángulos

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Razones trigonométricas seno, coseno y tangente

La trigonometria es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos a partir del criterio de semejanza de triángulos, y es muy útil para conocer las razones y las proporciones entre las medidas de los lados correspondientes en los triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas son los cocientes que surgen al realizar comparaciones entre dos lados de cualquier triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el ángulo de 90o está formado por los dos lados conocidos como catetos. El lado opuesto al ángulo de 90o se llama hipotenusa, el cual siempre es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. Así, los lados de un triángulo tienen una particularidad en relación con el ángulo al cual se aplicarán las razones trigonométricas; si en el triángulo de la figura se elige el $\angle A,$ ,un cateto está opuesto a él y el otro cateto es adyacente, es decir, es uno de los lados que lo forman. $\mathsf{A s i},$ las razones trigonométricas para dicho ángulo se obtienen del siguiente modo:

$\begin{array}{l}\frac{\Phi}{\Phi}\xrightarrow{A}\quad\text{seno}\angle A=\frac{\text{Cateto}\text{Opensto}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{\text{CO}}{\text{HIP}}\\\frac{\Phi}{\Phi}\xrightarrow{B}\quad\text{Hipotenusa}\\\frac{\Phi}{\Phi}\xrightarrow{B}\quad\text{Cateto}\text{Hipotenusa}\\\frac{\Phi}{\Phi}\xrightarrow{\text{Cateto}\text{opposite}}\quad\text{C}\end{array}$

Por ejemplo, si en el siguiente triángulo rectángulo se hace referencia al ángulo del vértice H, las razones trigonométricas que lo defi nen quedarian determinadas de la siguiente manera:

$\begin{aligned}H&\bullet\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad&\quad\quad\quad&\quad&\quad\quad\quad&\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad\quad&\quad\quad&\quad\quad\quad\quad\quad&\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\quad\quad\quad&\quad\quad\quad$

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