Continúa la tabla del problema de edades: a) resolver 2w^2+6w-216=0 con la fórmula general, b) interpretar las dos soluciones en el contexto del problema.

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

SEP/CONALITEG

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Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas: fórmula general e interpretación

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Respuesta rápida

Soluciones de la ecuación: $w_1 = 9$ y $w_2 = -12$ . Se descarta $-12$ por ser negativa: edad del hermano = 9 años, edad de Emmanuel = 12 años.

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Solución — Página 109

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

(Continuación de un problema anterior; pasos 3 y 4 de la tabla.)

La ecuación cuadrática a resolver es $2w^{2} + 6w - 216 = 0$ , obtenida al desarrollar el binomio cuadrado $(w+3)^2 = 225$ planteado en el problema de las edades de Emmanuel y su hermano.

Ejercicio 3

Resolver la ecuación

Desarrollar el binomio cuadrado: $w^{2} + w^{2} + 2(w)(3) + 9 = 225$ .
Simplificar: $w^{2} + w^{2} + 6w + 9 = 225$ , es decir, $2w^{2} + 6w + 9 = 225$ .
Pasar 225 al primer miembro: $2w^{2} + 6w + 9 - 225 = 0$ , entonces $2w^{2} + 6w - 216 = 0$ .
Identificar coeficientes: $a = 2$ , $b = 6$ , $c = -216$ .
Aplicar la fórmula general:

$w = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4(a)(c)}}{2(a)} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} - 4(2)(-216)}}{2(2)}$

Calcular el discriminante: $b^{2} - 4ac = 36 + 1728 = 1764$ , y $\sqrt{1764} = 42$ .
Sustituir: $w = \frac{-6 \pm 42}{4}$ .
Solución 1: $w_{1} = \frac{-6 + 42}{4} = \frac{36}{4} = 9$ .
Solución 2: $w_{2} = \frac{-6 - 42}{4} = \frac{-48}{4} = -12$ .

Respuesta

$w_{1} = 9$ y $w_{2} = -12$ .

Ejercicio 4

Interpretar la solución

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones: una positiva ( $w = 9$ ) y una negativa ( $w = -12$ ).
En el contexto del problema se habla de edades, y no existen edades negativas, por lo que se descarta $w_{2} = -12$ .
Se concluye que la edad del hermano es 9 años y, por lo tanto, la de Emmanuel es $9 + 3 = 12$ años.

Notas conceptuales de la página

Palabras clave para modelar: usar qué, cuántos y cómo ayuda a identificar la cantidad desconocida y a buscar relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas.
Claves lingüísticas: ciertas palabras indican igualdades ("es igual a", "tiene el doble") y operaciones, y permiten expresar las relaciones en forma de ecuación.
Procedimientos necesarios: para resolver problemas con ecuaciones cuadráticas se requiere dominar la factorización y la fórmula general.

Respuesta

Edad del hermano: 9 años; edad de Emmanuel: 12 años.

Contenido de la página

Tabla: Pasos y Consideraciones (continuación)

Pasos	Consideraciones
3. Resolver la ecuación.	Para resolver la ecuación se desarrolla el binomio cuadrado: $w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9=225 \Rightarrow w^{2}+w^{2}+6w+9=225 \Rightarrow 2w^{2}+6w-216=0$ . Al aplicar la fórmula general se sustituyen los coeficientes $a=2$ , $b=6$ y $c=-216$ : $w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{2(a)}=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-216)}}{2(2)}$ . Se realizan las operaciones incluyendo la raíz cuadrada: $w=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{2(2)}$ . Solución 1: $w_{1}=\frac{-6+42}{4}=\frac{36}{4}$ , y después dividir: $w_{1}=9$ . Solución 2: $w_{2}=\frac{-6-42}{4}=\frac{-48}{4}$ , y después dividir: $w_{2}=-12$ .
4. Interpretar la solución.	En la resolución de la ecuación cuadrática se puede observar que hay una solución negativa y otra positiva, pero como no hay edades negativas se descarta la solución negativa y se concluye que la edad del hermano es de 9 años; por lo tanto, la de Emmanuel es de 12 años.

Pasos

Consideraciones

3. Resolver la ecuación.

Para resolver la ecuación se desarrolla el binomio cuadrado:

w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9=225 \Rightarrow w^{2}+w^{2}+6w+9=225 \Rightarrow 2w^{2}+6w-216=0

. Al aplicar la fórmula general se sustituyen los coeficientes

a=2

b=6

c=-216

w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{2(a)}=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-216)}}{2(2)}

. Se realizan las operaciones incluyendo la raíz cuadrada:

w=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{2(2)}

. Solución 1:

w_{1}=\frac{-6+42}{4}=\frac{36}{4}

, y después dividir:

w_{1}=9

. Solución 2:

w_{2}=\frac{-6-42}{4}=\frac{-48}{4}

, y después dividir:

w_{2}=-12

4. Interpretar la solución.

En la resolución de la ecuación cuadrática se puede observar que hay una solución negativa y otra positiva, pero como no hay edades negativas se descarta la solución negativa y se concluye que la edad del hermano es de 9 años; por lo tanto, la de Emmanuel es de 12 años.

Para resolver un problema mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, conviene valerse de palabras clave como qué, cuántos y cómo. Dichas palabras pueden ayudar a identificar la cantidad desconocida para después buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. Otras palabras sirven como claves lingüísticas de igualdades y operaciones que ayudan a expresar las relaciones en forma de ecuaciones.

Para la resolución de problemas por medio de ecuaciones cuadráticas, se requiere conocer procedimientos algebraicos para encontrar el valor de los datos desconocidos, como la factorización y la fórmula general.

Ejemplos resueltos

Resolver la ecuación $2w^{2}+6w-216=0$ con la fórmula general e interpretar la solución en un problema de edades.

Con $a=2$ , $b=6$ , $c=-216$ : $w=\frac{-6\pm\sqrt{36+1728}}{4}=\frac{-6\pm 42}{4}$ . Así, $w_{1}=9$ y $w_{2}=-12$ . Se descarta $-12$ (edades no negativas): hermano 9 años, Emmanuel 12 años.

Tabla

Pasos	Consideraciones
3. Resolver la ecuación	Desarrollar el binomio, llevar a forma estándar $2w^2+6w-216=0$ y aplicar la fórmula general con $a=2, b=6, c=-216$ ; soluciones $w_1=9$ , $w_2=-12$ .
4. Interpretar la solución	Se descarta $-12$ por el contexto de edades: hermano 9 años, Emmanuel 12 años.

Fórmulas y ecuaciones

w= $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{2(a)}$

$2w^{2}+6w-216=0$

w= $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

w= $\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{4}$

$w_{1}=9,\$ ; $w_{2}=-12$

Glosario (4)

Ecuación cuadrática: Ecuación de la forma $ax^{2}+bx+c=0$ con $a\neq 0$, cuyas soluciones se obtienen con la fórmula general o por factorización.
Discriminante: Valor $b^{2}-4ac$ que determina la cantidad y naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.
Fórmula general: Expresión $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ que permite hallar las raíces de cualquier ecuación cuadrática.
Palabras clave: Términos como qué, cuántos y cómo que orientan la identificación de la incógnita en la modelación de un problema.

Preguntas para practicar

¿Por qué conviene valerse de palabras clave como qué, cuántos y cómo al resolver un problema con ecuaciones cuadráticas?

Porque ayudan a identificar la cantidad desconocida (la incógnita) y a establecer relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas, lo que facilita plantear la ecuación.

¿Qué dos procedimientos algebraicos se requieren para resolver problemas con ecuaciones cuadráticas?

La factorización y la fórmula general, ambos permiten encontrar el valor de los datos desconocidos.

¿Por qué se descarta una de las soluciones obtenidas en el problema de edades?

Porque la solución negativa ($w=-12$) no es posible en el contexto, ya que no existen edades negativas; se conserva solo la solución positiva $w=9$.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasFórmula generalResolución de problemasInterpretación de solucionescoeficientes a, b, cdiscriminanteraíces de la ecuaciónsolución no admisible en contextopalabras clave para modelar

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué se descarta una solución negativa en problemas de edades?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué palabras clave ayudan a plantear una ecuación desde un problema?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Desarrollo de binomios cuadrados
• Ecuaciones lineales y cuadráticas en forma estándar
• Concepto de raíz cuadrada y discriminante

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Actividades de práctica adicionales para resolver problemas con ecuaciones cuadráticas por factorización

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1663 caracteres

Para resolver un problema mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, conviene valerse de palabras clave como qué, cuántos y cómo. Dichas palabras pueden ayudar a identificar la cantidad desconocida para después buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. Otras palabras sirven como claves lingüisticas de igualdades y operaciones que ayudan a expresar las relaciones en forma de ecuaciones.

Para la resolución de problemas por medio de ecuaciones cuadráticas, se requiere conocer procedimientos algebraicos para encontrar el valor de los datos desconocidos,como la factorización y la fórmula general.

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福

Pasos	Consideraciones
3. Resolver la ecuación.	Para resolver la ecuación se desarrolla el binomio cuadrado: Al aplicar la fórmula general para resolver la ecuación, se sustituyen los valores los coeficientes de cada uno de los términos, esto es, Se realizan las operaciones de la fracción incluyendo la raiz cudrada: y después dividir: y después dividir: $w_{2}=\frac{-48}{4}$ $w=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4(a)(c)}}{2(a)}=\frac{-6\pm\sqrt{b^2-4(2)(-216)}}{2(2)}$ $w=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{2(2)}$ $y_{c}=-216;$ $w_{2}=-12$ $a=2,b=6$ $w_{1}=9$ $\begin{align}w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9&=225,\\w^{2}+w^{2}+6w+9&=225,\\2w^{2}+6w-216&=0\end{align}$ $\begin{aligned}\mathrm{Soluci}\hat{\mathrm{e}}\mathrm{n}:w_{1}&=\frac{-6+42}{4}\\w_{1}&=\frac{36}{4}\end{aligned}$ $\mathrm{Soluci}\hat{\alpha}\;2:w_2=\frac{-6-42}{4}$

	4.Interpretar la solución.