Dos lados de un paralelogramo miden 15 cm y 21 cm, y forman un ángulo de 60^. Encuentra la medida de la altura del paralelogramo y su área (Ejemplo 1 de la página).

h ≈ 12.99 cm, A ≈ 272.79 cm^2

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Problemas que implican el uso de las razones trigonométricas

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Altura $h = 15\sin 60^\circ \approx 12.99$ cm; Área $A = 21 \times 12.99 \approx 272.79$ cm².

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Solución — Página 114

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1

Dos lados de un paralelogramo miden 15 cm y 21 cm, y forman un ángulo de $60^\circ$ ; hallar la altura y el área del paralelogramo.

Identificar el triángulo rectángulo formado por la altura, el lado de 15 cm (hipotenusa) y una parte de la base. La altura $h$ es el cateto opuesto al ángulo de $60^\circ$ .
Aplicar la razón trigonométrica seno: $\sin(60^\circ) = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{h}{15}$ .
Sustituir $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$ .
Despejar la altura: $h = 15 \times \sin(60^\circ) = 15 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
Calcular numéricamente: $h = 15 \times 0.8660 \approx 12.99 \, \text{cm}$ (aprox. $13$ cm).
Calcular el área del paralelogramo: $A = \text{base} \times \text{altura} = 21 \times 12.99$ .
Resultado: $A \approx 272.79 \, \text{cm}^{2}$ (aprox. $273 \, \text{cm}^{2}$ ).

Respuesta: altura $h \approx 12.99 \, \text{cm}$ ; área $A \approx 272.79 \, \text{cm}^{2}$ .

Contenido de la página

Entonces $\overline{AB} \approx 28.688$ cm.

De lo anterior se concluye que el $\angle A$ mide aproximadamente $26^\circ$ , y que la medida del cateto adyacente $AB$ es $28.688$ cm, aproximadamente.

En general, las razones trigonométricas se utilizan para resolver un triángulo rectángulo, es decir, calcular todos los valores de sus tres lados y sus tres ángulos. El valor de las razones trigonométricas de un ángulo se puede encontrar en tablas conocidas como tablas trigonométricas, las cuales facilitan los cálculos al resolver cualquier triángulo rectángulo.

Problemas que implican el uso de las razones trigonométricas

Los problemas que se plantean respecto a un triángulo rectángulo pueden resolverse con razones trigonométricas.

Al aplicar las razones trigonométricas en la resolución de problemas, el resultado obtenido puede ser, en algunos casos, la solución del problema, pero en otros únicamente sirve como una nueva cantidad con la cual se efectúan otras operaciones que permiten resolver el problema. A continuación, se presenta un ejemplo de esta segunda situación.

Ejemplo 1

Dos lados de un paralelogramo miden 15 cm y 21 cm, y forman un ángulo de $60^\circ$ , como se observa en la figura. Se debe encontrar la medida de la altura del paralelogramo y su área.

(Figura: paralelogramo con lado izquierdo de 15 cm, base inferior de 21 cm, ángulo inferior izquierdo de 60°, altura punteada indicada.)

Ejemplos resueltos

Dos lados de un paralelogramo miden 15 cm y 21 cm y forman un ángulo de $60^\circ$ . Hallar la altura y el área.

En el triángulo rectángulo formado por la altura, la hipotenusa es el lado de 15 cm y el ángulo es $60^\circ$ .
$\sin(60^\circ) = \dfrac{h}{15}$ .
$h = 15 \cdot \sin(60^\circ) = 15 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.99 \, \text{cm}$ .
$A = 21 \cdot 12.99 \approx 272.79 \, \text{cm}^{2}$ .

Tablas (5)

| Razón trigonométrica | Definición en triángulo rectángulo |

|---|---|

| $\sin \theta$ | $\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ |

| $\cos \theta$ | $\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ |

| $\tan \theta$ | $\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$ |

Fórmulas y ecuaciones

$\sin(\theta) = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$A_{\text{paralelogramo}} = \text{base} \times \text{altura}$

$\sin(60^\circ)$ = $\dfrac{h}{15}$

h = 15 $\times$ $\sin(60^\circ)$ = 15 $\times$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\approx$ 12.99 $\$ , $\text{cm}$

A = 21 $\times$ h $\approx$ 21 $\times$ 12.99 $\approx$ 272.79 $\$ , $\text{cm}$ $^{2}$

Glosario (4)

Razón trigonométrica: Cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo que depende de la medida de uno de sus ángulos agudos (seno, coseno, tangente).
Resolver un triángulo rectángulo: Determinar las medidas de los tres lados y los tres ángulos de un triángulo rectángulo.
Paralelogramo: Cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos; su área es base por altura.
Altura: Distancia perpendicular entre dos bases paralelas de un paralelogramo.

Preguntas para practicar

¿Por qué las tablas trigonométricas facilitan los cálculos al resolver triángulos rectángulos?

Porque en ellas ya vienen calculados los valores de seno, coseno y tangente para distintos ángulos; así no es necesario determinarlos cada vez y basta con identificar la razón adecuada, sustituir los valores y despejar la incógnita, lo que agiliza la resolución de cualquier triángulo rectángulo.

En el Ejemplo 1, el resultado de aplicar la razón trigonométrica (la altura) no es la solución final del problema. ¿Qué operación adicional se realizó y por qué?

Se utilizó la altura como una cantidad intermedia para calcular el área, mediante $A = \text{base} \times \text{altura} = 21 \times 12.99 \approx 272.79 \, \text{cm}^{2}$. Esto ilustra que a veces la razón trigonométrica da solo un dato que permite, con otras operaciones, resolver el problema planteado.

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricasResolución de triángulos rectángulosAplicación en paralelogramossenohipotenusacateto opuestoalturaárea de un paralelogramotablas trigonométricas

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Figuras de la página (1)

Paralelogramo con lado izquierdo de 15 cm, base inferior de 21 cm, ángulo inferior izquierdo de 60°, altura punteada perpendicular etiquetada 'Altura' cayendo sobre la base. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se usa la razón trigonométrica para hallar la altura de un paralelogramo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el área de un paralelogramo conociendo la altura?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es resolver un triángulo rectángulo con razones trigonométricas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Definición de seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo
• Valor del seno de 60°
• Fórmula del área de un paralelogramo (base × altura)
• Uso de la calculadora con funciones trigonométricas

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Resolución de problemas adicionales aplicando razones trigonométricas (pág. 115)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1324 caracteres

Entonces $\overline{AB}\approx28.688cm$ 1

De lo anterior se concluye que el ∠A mide aproximadamente 26o, y que la medida del cateto adyacente AB es 28.688 cm, aproximadamente.

En general，, las razones trigonométricas se utilizan para resolver un triángulo rectángulo, es decir, calcular todos los valores de sus tres lados y sus tres ángulos. El valor de las razones trigonométricas de un ángulo se puede encontrar en tablas conocidas como tablas trigonométricas, las cuales facilitan los cálculos al resolver cualquier triángulo rectángulo.

Problemas que implican el uso de las razones trigonométricas

Los problemas que se plantean respecto a un triángulo rectángulo pueden resolverse con razones trigonométricas.

Al aplicar las razones trigonométricas en la resolución de problemas, el resultado obtenido puede ser, en algunos casos, la solución del problema,pero en otros únicamente sirve como una nueva cantidad con la cual se efectúan otras operaciones que permiten resolver el problema. A continuación, se presenta un ejemplo de esta segunda situación.

Ejemplo 1

Dos lados de un paralelogramo miden 15 cm y 21 cm, y forman un ángulo de $60^{\circ}$ , como se observa en la figura. Se debe encontrar la medida de la altura del paralelogramo y su área.

求

113业

![](page=0,bbox=[225, 1207, 607, 1409])

21cm

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