Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Cálculo de altura y área de un paralelogramo con razones trigonométricas

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Respuesta rápida

Altura del paralelogramo: 12.99 cm (sen 60° = x/15). Área: 21 cm × 12.99 cm = 272.79 cm².

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 115

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo (contenido de la página 114)

Se traza la altura desde el vértice superior hasta la base del triángulo; se forma un triángulo rectángulo donde se conocen la hipotenusa ( $15 \, \text{cm}$ ) y el ángulo de $60^\circ$ . Como la altura es el cateto opuesto, se usa el seno.

Cálculo de la altura

Planteamos la razón trigonométrica: $\text{sen}\,60^\circ = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{Altura}}{15 \, \text{cm}}$
Llamamos $x$ a la altura: $\text{sen}\,60^\circ = \frac{x}{15}$
Consultamos el valor de $\text{sen}\,60^\circ \approx 0.866$ en la tabla de valores y despejamos $x$ : $x = 15 \times 0.866$
Multiplicamos: $x = 12.99$

Por tanto, el paralelogramo tiene una altura aproximada de $12.99 \, \text{cm}$ .

Cálculo del área del paralelogramo

Fórmula del área del paralelogramo: $\text{Área} = b \times h$
Sustituimos $b = 21 \, \text{cm}$ y $h = 12.99 \, \text{cm}$ : $A = 21 \, \text{cm} \times 12.99 \, \text{cm}$
Multiplicamos: $A = 272.79 \, \text{cm}^{2}$

Entonces, el paralelogramo tiene un área aproximada de $272.79 \, \text{cm}^{2}$ .

Idea clave (recuadro morado)

Las razones trigonométricas se pueden utilizar en la resolución de problemas que involucren un triángulo rectángulo, tanto para el cálculo de los ángulos como de los lados.

Recomendación metodológica (recuadro azul)

Para aplicar las razones trigonométricas en la resolución de problemas es necesario identificar los datos conocidos y los desconocidos. A partir de ahí se debe decidir cuál razón se debe utilizar. Por ejemplo, cuando se tiene la medida de un ángulo se consulta la tabla de valores para conocer el valor de la razón y relacionarla con la medida de uno de los lados para obtener el valor faltante. O a la inversa, a partir de la relación entre las medidas de los lados, se consultan las tablas de valores para obtener el valor de la razón y entonces conocer la medida del ángulo.

Respuesta: Altura $= 12.99 \, \text{cm}$ ; Área $= 272.79 \, \text{cm}^{2}$ .

Contenido de la página

Continuación del ejemplo (página 114)

Si se traza la altura desde el vértice superior hasta la base del triángulo, se forma un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa y el ángulo de $60^\circ$ ; como la altura es el cateto opuesto, la razón trigonométrica que se utiliza es el seno del ángulo.

$\text{sen}\,60^\circ = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{\text{Altura}}{15 \, \text{cm}}$

$\text{sen}\,60^\circ = \frac{x}{15}$

$(15)(0.866) = x$

$x = 12.99$

Por tanto, el paralelogramo tiene una altura aproximada de $12.99 \, \text{cm}$ .

Con la medida de la altura del paralelogramo, se puede obtener su área como se presenta a continuación:

$\text{Área} = b \times h$

$A = 21 \, \text{cm} \times 12.99 \, \text{cm}$

$A = 272.79 \, \text{cm}^{2}$

Entonces, el paralelogramo tiene un área aproximada de $272.79 \, \text{cm}^{2}$ .

Las razones trigonométricas se pueden utilizar en la resolución de problemas que involucren un triángulo rectángulo, tanto para el cálculo de los ángulos como de los lados.

Ejemplos resueltos

Conociendo la hipotenusa de 15 cm y el ángulo de 60° de un triángulo rectángulo formado al trazar la altura de un paralelogramo de base 21 cm, hallar la altura y el área del paralelogramo.

Como la altura es el cateto opuesto: sen 60° = x / 15.
sen 60° ≈ 0.866, entonces x = 15 × 0.866 = 12.99 cm.
Área = 21 cm × 12.99 cm = 272.79 cm².

Fórmulas y ecuaciones

$\text{sen}$ $\,\theta$ = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$

$\text{Área del paralelogramo}$ = b $\times$ h

$\text{sen}$ $\,60^\circ$ = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$ = $\frac{\text{Altura}}{15\,\text{cm}}$

$\text{sen}$ $\,60^\circ$ = $\frac{x}{15}$

x = 15 $\times$ 0.866 = 12.99

A = b $\times$ h

A = $21\$ , $\text{cm}$ $\times$ $12.99\$ , $\text{cm}$ = $272.79\$ , $\text{cm}$ $^{2}$

Glosario (5)

Seno: Razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa en un triángulo rectángulo: sen θ = cateto opuesto / hipotenusa.
Cateto opuesto: Lado del triángulo rectángulo que se encuentra frente al ángulo considerado.
Hipotenusa: Lado más largo del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
Paralelogramo: Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos; su área se calcula como base por altura.
Tabla de valores: Tabla que indica el valor numérico de las razones trigonométricas para distintos ángulos.

Preguntas para practicar

¿Por qué, en este problema, se eligió el seno y no el coseno o la tangente?

Porque se conocen la hipotenusa (15 cm) y el ángulo (60°), y lo que se necesita encontrar es el cateto opuesto (la altura). La razón que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es el seno, por eso se usa sen 60° = cateto opuesto / hipotenusa.

¿Cómo sabrías qué razón trigonométrica usar en un problema nuevo?

Primero identifico los datos conocidos y el desconocido en el triángulo rectángulo. Si están la hipotenusa y un cateto, uso seno o coseno según cuál sea opuesto o adyacente; si están los dos catetos, uso la tangente. Luego consulto la tabla de valores para obtener el número y despejo la incógnita.

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricas en la resolución de problemasCálculo de altura de un paralelogramoÁrea de un paralelogramoseno de un ángulocateto opuestohipotenusaaltura del paralelogramoárea del paralelogramotabla de valores trigonométricos

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la altura de un paralelogramo usando el seno?

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¿Por qué se usa el seno y no el coseno si se conoce la hipotenusa?

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¿Cómo se obtiene el área de un paralelogramo conociendo la base y la altura?

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📌 Antes de leer esto

• Definición de seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo
• Tabla de valores de razones trigonométricas (sen 60° ≈ 0.866)
• Fórmula del área de un paralelogramo: A = b × h
• Identificar cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas para hallar ángulos a partir de razones trigonométricas (inversa de la función seno, coseno, tangente)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1661 caracteres

Si se traza la altura desde el vértice superior hasta la base del triángulo,se forma un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa y el ángulo de $60^{\circ}y$ como la altura es el cateto opuesto, la razón trigonométrica que se utiliza es el seno del ángulo.

$\begin{aligned}&\mathrm{seno}60^{\circ}=\frac{\mathrm{Cateto}\mathrm{Opuesto}}{\mathrm{Hipotenusa}}=\frac{\mathrm{Altra}}{15\mathrm{cm}}\\ &\\ &\mathrm{seno}60^{\circ}=\frac{x}{15}\\ &\\ &\mathrm{h}(15)(0.866)=x\\ &\\ &x=12.99\\ \end{aligned}$

Por tanto, el paralelogramo tiene una altura aproximada de 12.99 cm.

Con la medida de la altura del paralelogramo, se puede obtener su área como se presenta a continuación:

$\begin{aligned}\hat{A}\mathrm{rea}&=b\times b\\A&=21\mathrm{cm}\times12.99\mathrm{cm}^2\\A&=272.79\mathrm{cm}^2\end{aligned}$

Entonces, el paralelogramo tiene un área aproximada de 272.79 cm2.

Las razones trigonómetricas se pueden utilizar en la resolución de problemas que involucren un triángulo rectángulo,tanto para el cálculo de los ángulos como de los lados.

福

Para aplicar las razones trigonométricas en la resolución de problemas es necesario identifi car los datos conocidos y los desconocidos. A partir de ahí se debe decidir cuál razón se debe utilizar. Por ejemplo, cuando se tiene la medida de un ángulo se consulta la tabla de valores para conocer el valor de la razón y relacionarla con la medida de uno de los lados para obtener el valor faltante. O a la inversa, a partir de la relación entre las medidas de los lados, se consultan las tablas de valores para obtener el valor de la razón y entonces conocer la medida del ángulo.

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