Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

SEP/CONALITEG

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Proporcionalidad directa: método de reducción a la unidad y ejemplo de proporcionalidad inversa

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Respuesta rápida

Ejemplo 1: 60 garrafas en 20 minutos. Ejemplo 1b: 300 garrafas por 150 L. Ejemplo 2: relación inversa $D_1 t_1 = D_2 t_2$ ; datos completos en la página siguiente.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 118

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 1 (resuelto en el libro)

Problema: En 5 minutos se llenan 15 garrafas. ¿Cuántas garrafas se llenan en 20 minutos?

Se plantea la proporción: 5 minutos es a 15 garrafas como 20 minutos es a $x$ .
Se despeja $x$ : $x = \frac{15 \, \text{garrafas} \times 20 \, \text{minutos}}{5 \, \text{minutos}}$ .
Se cancela la unidad "minutos" arriba y abajo: $x = \frac{15 \times 20}{5} \, \text{garrafas}$ .
Se realiza la operación: $\frac{300}{5} = 60$ .

Respuesta: Se pueden llenar 60 garrafas durante el recreo.

Ejemplo 1b (reducción a la unidad)

Problema: Un dispensador tiene 150 L y en 10 garrafas caben 5 L. ¿Cuántas garrafas se llenan antes de que se vacíe?

Identificar los datos: Dato $A$ (litros) = 5, Dato $B$ (garrafas) = 10, Dato $C$ (dispensador) = 150 L.
Plantear la relación: 5 L es a 10 garrafas.
Calcular el valor de la unidad (constante de proporcionalidad): $\text{Valor de la unidad} = \frac{\text{Dato } B}{\text{Dato } A} = \frac{10 \, \text{garrafas}}{5 \, \text{L}} = \frac{2 \, \text{garrafas}}{1 \, \text{L}}$ .
Interpretar: caben 2 garrafas por cada litro de agua.
Aplicar $x = \text{Dato } C \times \text{Valor de la unidad}$ : $x = 150 \, \text{L} \times \frac{2 \, \text{garrafas}}{1 \, \text{L}}$ .
Cancelar la unidad L: $x = 150 \times 2 = 300$ garrafas.

Respuesta: El dispensador alcanza a llenar 300 garrafas antes de vaciarse por completo.

Ejemplo 2 (proporcionalidad inversa)

Problema (enunciado, continúa en la página siguiente): La administración escolar quiere 4 dispensadores de agua y necesita saber cuánto tiempo se requiere para atender a 60 estudiantes. Se usa la relación proporcional inversa, porque al aumentar el número de dispensadores disminuye el tiempo de atención.

Reconocer el tipo de relación: los dispensadores ( $D$ ) y el tiempo ( $t$ ) son inversamente proporcionales, pues al aumentar $D$ disminuye $t$ .
Plantear la relación inversa: $D_1 \times t_1 = D_2 \times t_2$ , es decir, el producto dispensadores $\times$ tiempo es constante.
La página no entrega los datos de tiempo iniciales (cuántos dispensadores y cuánto tiempo se tenían antes); ese dato aparece en la página siguiente, por lo que el procedimiento es identificar el producto constante con los datos iniciales y despejar el tiempo $t_2$ con 4 dispensadores.

Respuesta orientativa: Con relación inversa, si $D_1 \times t_1 = D_2 \times t_2$ y $D_2 = 4$ , entonces $t_2 = \dfrac{D_1 \times t_1}{4}$ , esperando un tiempo menor que el inicial para el mismo número de estudiantes.

Contenido de la página

Continuación de ejemplo (proporcionalidad directa)

Información

Dato $A$ : Tiempo necesario = 5 minutos
Dato $B$ : Cantidad de garrafas = 15
Dato $C$ : Tiempo total = 20 minutos

5 minutos es a 15 garrafas como 20 minutos es a $x$ .

$x = \frac{15 \, \text{garrafas} \times 20 \, \text{minutos}}{5 \, \text{minutos}} = 60 \, \text{garrafas}$

En el problema intervienen dos variables: el número de garrafas de agua y el tiempo en minutos. Se observa que en la ecuación la unidad "minutos" se canceló. Una vez hecha la operación, se obtiene que se pueden rellenar 60 garrafas de agua durante el recreo.

Ahora, si la capacidad del dispensador es de 150 L, pero en esta ocasión en 10 garrafas caben 5 L de agua, ¿cuántas garrafas se podrán rellenar antes de que el dispensador se quede sin agua?

Método de reducción a la unidad

Si existe una relación proporcional directa entre $A$ y $B$ , el cociente entre un elemento de $B$ y el elemento que le corresponde de $A$ arroja el valor de la unidad (constante de proporcionalidad).

Dato $A$ es a Dato $B$ , entonces:

$\text{Valor de la unidad} = \frac{\text{Dato } B}{\text{Dato } A}$

Así, a partir de la expresión obtenida al final de la página anterior, se tiene que:

$x = \text{Dato } C \times \text{Valor de la unidad}$

Información

Dato $A$ : Litros de agua = 5
Dato $B$ : Garrafas = 10
Dato $C$ : Dispensador = 150 L

5 L es a 10 garrafas. Valor de la unidad:

$\frac{\text{Dato } B}{\text{Dato } A} = \frac{10 \, \text{garrafas}}{5 \, \text{L}} = \frac{2 \, \text{garrafas}}{1 \, \text{L}}$

2 garrafas por cada litro. Es decir, 2 garrafas por cada litro de agua.

$x = 150 \, \text{L} \times \frac{\text{Dato } B}{\text{Dato } A} = 150 \, \text{L} \times \frac{2 \, \text{garrafas}}{1 \, \text{L}} = 300 \, \text{garrafas}$

El dispensador alcanza a llenar de agua a 300 garrafas antes de vaciarse por completo.

Ejemplo 2

La administración escolar pretende que haya 4 dispensadores de agua y se desea conocer cuánto tiempo se necesita para atender a 60 estudiantes. En este caso, se usa la relación proporcional inversa, dado que cuando aumenta la cantidad de dispensadores se reduce el tiempo de atención para el mismo número de estudiantes.

Ejemplos resueltos

En 5 minutos se llenan 15 garrafas. ¿Cuántas garrafas se llenan en 20 minutos?

$x = \frac{15 \times 20}{5} = 60$ garrafas.

Un dispensador de 150 L; 10 garrafas caben 5 L. ¿Cuántas garrafas se llenan?

Valor de la unidad $= \frac{10}{5} = 2$ garrafas/L. $x = 150 \times 2 = 300$ garrafas.

Tabla

Dato	Magnitud	Valor
Dato A (ejemplo 1)	Tiempo necesario	5 minutos
Dato B (ejemplo 1)	Cantidad de garrafas	15
Dato C (ejemplo 1)	Tiempo total	20 minutos
Dato A (ejemplo 1b)	Litros de agua	5 L
Dato B (ejemplo 1b)	Garrafas	10
Dato C (ejemplo 1b)	Dispensador	150 L

Diagrama

flowchart LR
  A['Dato A y Dato B'] --> B['Valor de la unidad = Dato B / Dato A']
  B --> C['x = Dato C x Valor de la unidad']
  C --> D['Respuesta']

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Valor de la unidad}$ = $\frac{\text{Dato } B}{\text{Dato } A}$

x = $\text{Dato }$ C $\times$ $\text{Valor de la unidad}$

$\text{Proporcionalidad inversa: }$ $A_1$ $\times$ $B_1$ = $A_2$ $\times$ $B_2$

x = $\frac{15 \, \text{garrafas} \times 20 \, \text{minutos}}{5 \, \text{minutos}}$ = 60 $\$ , $\text{garrafas}$

$\text{Valor de la unidad}$ = $\frac{\text{Dato } B}{\text{Dato } A}$

x = $\text{Dato }$ C $\times$ $\text{Valor de la unidad}$

$\frac{10 \, \text{garrafas}}{5 \, \text{L}}$ = $\frac{2 \, \text{garrafas}}{1 \, \text{L}}$

x = 150 $\$ , $\text{L}$ $\times$ $\frac{2 \, \text{garrafas}}{1 \, \text{L}}$ = 300 $\$ , $\text{garrafas}$

$D_1$ $\times$ $t_1$ = $D_2$ $\times$ $t_2$

Glosario (4)

Proporcionalidad directa: Relación entre dos cantidades que aumentan o disminuyen en la misma razón; el cociente entre ellas permanece constante.
Valor de la unidad (constante de proporcionalidad): Cociente entre el Dato B y el Dato A que indica cuántas unidades de B corresponden a una unidad de A.
Reducción a la unidad: Método que consiste en hallar primero cuánto vale una unidad y luego multiplicar por la cantidad total pedida.
Proporcionalidad inversa: Relación en la que una cantidad aumenta mientras la otra disminuye; su producto permanece constante.

Preguntas para practicar

¿Por qué la unidad "minutos" se cancela en la ecuación del ejemplo 1?

Porque minutos aparece tanto en el numerador (20 minutos) como en el denominador (5 minutos) de la fracción; al ser la misma unidad arriba y abajo se simplifican y solo queda la unidad del resultado, garrafas.

¿Qué representa el valor de la unidad en un problema de proporcionalidad directa?

Es la constante de proporcionalidad: indica cuántas unidades del Dato B corresponden a una unidad del Dato A (por ejemplo, 2 garrafas por cada litro de agua). Se calcula dividiendo Dato B entre Dato A.

¿Por qué en el Ejemplo 2 se usa la proporcionalidad inversa?

Porque al aumentar el número de dispensadores disminuye el tiempo de atención para el mismo número de estudiantes: las variables se mueven en sentidos opuestos, por lo que el producto dispensadores × tiempo se mantiene constante.

Temas y conceptos clave

Proporcionalidad directaMétodo de reducción a la unidadConstante de proporcionalidadProporcionalidad inversaDato A, Dato B y Dato CValor de la unidadCancelación de unidadesRelación proporcional directaRelación proporcional inversa

Fuentes y referencias

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Telesecundaria 3.º grado, ciclo 2025-2026, pág. 117.

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el método de reducción a la unidad en proporcionalidad directa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el valor de la unidad o constante de proporcionalidad?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuándo se usa la proporcionalidad inversa y cómo se plantea la ecuación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• División y simplificación de fracciones
• Cancelación de unidades en expresiones con fracción
• Concepto de razón entre dos cantidades

Siguiente tema sugerido

Resolución completa del Ejemplo 2 de proporcionalidad inversa y ejercicios de práctica (página 119)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 4988 caracteres

Información

Dato A: Tiempo necesario = 5minutos

( Dato B: Cantidad de garrafas = 15

DatoC: Tiempo $total=20$ minutos

5 minutos es a 15 garrafas como 20 minutos es a x.

$x=\frac{15\ grad\ \times20\ minutos}{5\ minutos}=60\ grad\ \times$

En el problema intervienen dos variables: el número de garrafas de agua y el tiempo en minutos. Obsérvese que en la ecuación unidad "minutos" de la variable tiempo se canceló. Una vez hecha la operación, se obtiene que se pueden rellenar 60 garrafas de agua durante el recreo.

Ahora, si se sabe que la capacidad del dispensador es de 150 1, pero en esta ocasión en 10 garrafas caben 5 1 de agua, jcuántas garrafas se podrán rellenar antes de que el dispensador se quede sin agua? Para saber esto se realiza lo siguiente:

Metodo de reducción a la unidad: Si existe una relación proporcional directa entre A y B, el cociente entre un elemento de B y el elemento que le corresponde de A arroja el valor de la unidad (constante de proporcionalidad).

Dato A es a Dato B, entonces

$\mathrm{Varo\ de\ la\ unmid}\mathrm{ad}:\frac{\mathrm{Dato}\ B}{\mathrm{Dato}\ A}$

Así a partir de la expresión obtenida al final de la página anterior, se tiene que

x = Dato C× Valor de la unidad

Información

cd Dato A: Litros de $\mathrm{agua}=5$

Dato B: $\mathrm{Garrafas}=10$

c Dato C: Dispensador = 1501

5 les a 10 garrafas

Valor de la unidad:

$\frac{Dato\;B}{Dato\;A}=\frac{10\;garrafas}{5!}=\frac{2\;garafas}{1!}$

2 garrafas por cada litro. Es decir, 2 garrafas por cada litro de agua.

$\begin{aligned}&x=150!\times\frac{D_{\mathrm{data}}B}{D_{\mathrm{data}}A}\\ &=150!\times\frac{2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x=1500:1:50:1:50:1:5:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:6:7:7:7:7:7:7:6:7:7:6:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:7:1:1:1:1:1:6:1:6:1:6:1:1:6:1:6:1:1:6:1:1:1:6:1:1:1:1:1:1:6:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:$

El dispensador alcanza a llenar de agua a 300 garrafas antes de vaciarse por completo.