En una carrera de bicicletas se otorgan tres premios cuya suma total es $1 450 000. El 1er lugar demoró 1 h 12 min, el 2do lugar 96 min y el 3er lugar llegó 12 min después del 2do. Descubrir cómo se debe repartir el premio (reparto inversamente proporcional al tiempo).

A=600 000, B=450 000, C=400 000

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Reparto inversamente proporcional: premios de una carrera de bicicletas

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Respuesta rápida

1er lugar: $600\,000; 2do lugar: @@MATH_0@@1\,450\,000$ .

matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 121

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo 2

Repartir $M = \$ 1,450,000$ entre tres lugares de una carrera de bicicletas de acuerdo con el tiempo demorado (reparto inversamente proporcional).

Información:

$a$ (1er lugar) = 1 h 12 min = 72 minutos
$b$ (2do lugar) = 96 minutos
$c$ (3er lugar) = 96 + 12 = 108 minutos
$M = \$ 1,450,000$

Regla

$\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Donde $M = A + B + C$ .

Paso 1. Fracciones equivalentes con mcm

El mcm de 72, 96 y 108 es 864.

$\frac{1}{a}=\frac{1}{72}=\frac{12}{864}$
$\frac{1}{b}=\frac{1}{96}=\frac{9}{864}$
$\frac{1}{c}=\frac{1}{108}=\frac{8}{864}$

Paso 2. Suma de las razones inversas

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$

Paso 3. Obtener la razón unitaria

$\frac{M}{\frac{29}{864}}=\frac{1\,450\,000}{\frac{29}{864}}=1\,450\,000\times\frac{864}{29}$

Como $1\,450\,000 \div 29 = 50\,000$ :

$50\,000\times 864 = 43\,200\,000$

Paso 4. Calcular A, B y C

Primer lugar ( $A$ ): $A = 43\,200\,000\times\frac{12}{864}=50\,000\times 12 = 600\,000$
Segundo lugar ( $B$ ): $B = 43\,200\,000\times\frac{9}{864}=50\,000\times 9 = 450\,000$
Tercer lugar ( $C$ ): $C = 43\,200\,000\times\frac{8}{864}=50\,000\times 8 = 400\,000$

Paso 5. Verificación

$A+B+C = 600\,000+450\,000+400\,000 = 1\,450\,000 = M \;\checkmark$

Respuesta: El reparto es: 1er lugar $600 000, 2do lugar \$ 450 000 y 3er lugar $400 000.

Contenido de la página

Por otro lado, se pueden presentar situaciones de reparto inversamente proporcional, como el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2

En una carrera de bicicletas se otorgan tres premios (primer, segundo y tercer lugar) cuya suma total es $1 450 000. El ganador registró un tiempo de 1 hora y 12 minutos, el segundo lugar demoró 96 minutos y el tercero llegó 12 minutos después del segundo. El premio se repartirá entre los tres lugares de acuerdo con el tiempo demorado. Descubrir cómo se debe repartir el premio.

Regla para reparto inversamente proporcional: Para repartir inversamente proporcionalmente una cantidad $M$ a otras cantidades $a$ , $b$ y $c$ :

$\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Donde $M = A + B + C$ y $A$ , $B$ , $C$ son las cantidades a determinar.

Información:

$M$ : Monto total de los premios = $1 450 000
$a$ : Marca del 1er lugar = 1 h y 12 minutos = 72 minutos
$b$ : Marca del 2do lugar = 96 minutos
$c$ : Marca del 3er lugar = 96 minutos + 12 minutos = 108 minutos

Es importante determinar las fracciones equivalentes para facilitar la suma de fracciones, ubicando el mínimo común múltiplo de los denominadores:

$\frac{1}{a}=\frac{1}{72}=\frac{12}{864}$

$\frac{1}{b}=\frac{1}{96}=\frac{9}{864}$

$\frac{1}{c}=\frac{1}{108}=\frac{8}{864}$

Luego se calcula la suma de las razones inversas:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$

Ejemplos resueltos

Repartir $1 450 000 entre tres ciclistas (tiempos de 72, 96 y 108 minutos) de manera inversamente proporcional al tiempo.

Se calculan razones inversas con mcm 864: $\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$ . Unidad: $1\,450\,000\div\frac{29}{864}=43\,200\,000$ . Luego $A=43\,200\,000\times\frac{12}{864}=600\,000$ , $B=450\,000$ , $C=400\,000$ .

Tabla

Lugar	Tiempo (min)	Razón inversa	Premio ($)
1er	72	12/864	600 000
2do	96	9/864	450 000
3er	108	8/864	400 000
Total	—	29/864	1 450 000

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{A}{1/a}$ = $\frac{B}{1/b}$ = $\frac{C}{1/c}$ = $\frac{M}{1/a+1/b+1/c}$

$\frac{A}{\frac{1}{a}}$ = $\frac{B}{\frac{1}{b}}$ = $\frac{C}{\frac{1}{c}}$ = $\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

$\frac{1}{72}$ = $\frac{12}{864}$

$\frac{1}{96}$ = $\frac{9}{864}$

$\frac{1}{108}$ = $\frac{8}{864}$

$\frac{12}{864}$ + $\frac{9}{864}$ + $\frac{8}{864}$ = $\frac{29}{864}$

A+B+C=M

Glosario (3)

Reparto inversamente proporcional: Reparto de una cantidad total en que a mayor valor de la variable (tiempo), menor es la porción que le corresponde.
Razón inversa: Fracción obtenida tomando el inverso (1/x) de cada cantidad que interviene en el reparto.
mcm: Mínimo común múltiplo: menor múltiplo común de dos o más números; se usa para igualar denominadores de fracciones.

Temas y conceptos clave

Reparto inversamente proporcionalProporcionalidad inversaSuma de fracciones con mcmreparto inversamente proporcionalrazón inversamcmfracciones equivalentescantidad total M

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📌 Antes de leer esto

• Suma y resta de fracciones con igual denominador
• Mínimo común múltiplo (mcm)
• Conversión de horas a minutos
• Concepto de proporcionalidad directa e inversa

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Resolución de situaciones de reparto inversamente proporcional con más de tres cantidades

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Por otro lado, se pueden presentar situaciones de reparto inversamente proporcional, como el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2

En una carrera de bicicletas se otorgan tres premios (primer, segundo y tercer lugar) cuya suma total es $1 450 000. En la misma, el ganador registró un tiempo de 1 hora y 12 minutos, el participante que llegó en segundo lugar demoró96 minutos y el tercero llegó a la meta 12 minutos después del segundo competidor. Considerando que el premio se repartirá entre los tres lugares de acuerdo con el tiempo demorado, descubrir cómo se debe repartir el premio.

Regla para reparto inversamente proporcional: Para realizar el reparto inversamente proporcional de una cierta cantidad (M) a otras cantidades determinadas $(a,b y c)$ , se construyen las razones inversamente proporcionales de la siguiente manera:

$\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{M}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Donde $M=A+B+C y A$ , By Cson las cantidades a determinar.

Información

M: Monto total de los $\mathrm{precision}=\S1450000$

(cid a: Marca del 1er lugar = 1 h $y12\ \mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}=72$ minutos

(c: :Marcadel2doIt $\mathrm{agar}=96$ minutos

c: Marca del 3er $\mathrm{lugar}=96$ minutos + 12 minutos =108 minutos

Es importante determinar las fracciones equivalentes para facilitar la suma de fracciones. Para ello, se deben sustituir las variables por los minutos correspondientes; posteriormente, ubicar el mínimo común múltiplo de los denominadores y registrar las fracciones equivalentes cuyo denominador es el mínimo común múltiplo encontrado.

$\frac{1}{a}=\frac{1}{72}=\frac{12}{864}$

$\frac{1}{b}=\frac{1}{96}=\frac{9}{864}$

$\frac{1}{c}=\frac{1}{108}=\frac{8}{864}$

Luego se calcula la suma de las razones inversas:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$

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