Reparte $1 450 000 inversamente proporcionalmente entre los corredores con tiempos de 72, 96 y 108 minutos. ¿Cuánto recibe cada uno?

A=600 000; B=450 000; C=400 000

Según el texto, ¿cómo se identifica una proporcionalidad directa y una inversa entre x e y?

Directa: y÷ x=k; Inversa: xy=k

Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Reparto inversamente proporcional: ganancias de una carrera y constante k

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Respuesta rápida

Premios: $600 000,$ 450 000 y $400 000 (suma$ 1 450 000). 2) Es proporcionalidad inversa porque mayor tiempo implica menor premio (xy = k). 3) Directa: y ÷ x = k; inversa: xy = k.

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Solución — Página 122

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Repartir $1 450 000 inversamente proporcionalmente entre tres corredores cuyos tiempos son 72, 96 y 108 minutos; determinar el premio de cada uno.

Al ser inversamente proporcional, cada cantidad es proporcional al inverso del tiempo: $A \propto \dfrac{1}{72}$ , $B \propto \dfrac{1}{96}$ , $C \propto \dfrac{1}{108}$ .
Formamos las razones iguales según la regla del reparto inverso: $\frac{A}{\frac{1}{72}}=\frac{B}{\frac{1}{96}}=\frac{C}{\frac{1}{108}}$
Sumamos los inversos de los tiempos (denominador común 864): $\frac{1}{72}+\frac{1}{96}+\frac{1}{108}=\frac{12}{864}+\frac{9}{864}+\frac{8}{864}=\frac{29}{864}$
Aplicamos la regla con el total repartido: $\frac{1\,450\,000}{\frac{29}{864}}=43\,200\,000$
Calculamos cada premio: $A=43\,200\,000\times\frac{1}{72}=600\,000$ $B=43\,200\,000\times\frac{1}{96}=450\,000$ $C=43\,200\,000\times\frac{1}{108}=400\,000$
Verificamos: $600\,000+450\,000+400\,000=1\,450\,000$ ✓

Respuesta

Primer lugar $600 000; segundo lugar$ 450 000; tercer lugar $400 000.

Ejercicio 2

Explicar por qué esta situación es una proporcionalidad inversa.

Quien invirtió menos tiempo (72 min) recibió más dinero ($600 000).
Quien invirtió más tiempo (108 min) recibió menos dinero ($400 000).
Al aumentar el tiempo, disminuye el premio; el producto tiempo × premio es constante: $72\times 600\,000 = 96\times 450\,000 = 108\times 400\,000 = 43\,200\,000$ .

Respuesta

Porque al crecer una variable (tiempo) disminuye la otra (dinero), cumpliéndose $xy=k$ .

Ejercicio 3

Distinguir proporcionalidad directa de inversa según el texto.

Directa: el cociente entre las variables es constante, $y \div x = k$ ; ambas cambian en el mismo sentido.
Inversa: la constante proviene de la multiplicación, $xy = k$ ; al crecer una, la otra disminuye.

Respuesta

Directa $y\div x=k$ ; inversa $xy=k$ .

Contenido de la página

Entonces, las razones inversamente proporcionales de acuerdo con la regla, son:

$\frac{A}{\frac{1}{72}}=\frac{B}{\frac{1}{96}}=\frac{C}{\frac{1}{108}}=\frac{1\,450\,000}{\frac{29}{864}}=43\,200\,000$

Por tanto, el ganador de la carrera se embolsará $600 000, pues:$ A = $43,200,000\times $\frac{1}{72}$ =600,000 $. Al segundo lugar le corresponden $450 000, ya que: $B = $43\,200\,000\times$ \frac{1}{96} $=450\,000$ .

Y, para el competidor que llegó en tercer lugar, recibe $400 000, puesto que:$ C = $43\,200\,000\times@@MATH_4@@=400\,000$ $.

El ganador de la carrera recibió un monto mayor al de los competidores que llegaron en segundo y tercer lugar, es decir, el corredor que empleó menor tiempo en terminar la carrera ganó mayor cantidad de dinero, es por ello que en esta situación se presenta una relación proporcional inversa.

En un reparto proporcional directo, las variables involucradas cambian de la misma manera, es decir, experimentan cambios de magnitud en el mismo sentido, hacia arriba o abajo (constante de proporcionalidad). Por otro lado, en un reparto inversamente proporcional, el cambio que sufren las variables es de proporcionalidad inversa: al incremento de una, le corresponde la disminución de otra, de acuerdo con las razones proporcionales determinadas.

Existen fenómenos o situaciones donde intervienen variables que cambian de manera proporcional. Con el estudio de la relación proporcional entre las variables independiente y dependiente, denotadas, respectivamente, por $x$ y $y$ , se puede determinar si se trata de una relación proporcional directa (cuando el cociente entre las variables es constante, es decir, $y \div x = k$ ) o si se trata de una relación proporcional inversa (cuando la constante entre las cantidades de estas variables resulta de la multiplicación $xy = k$ ).

Ejemplos resueltos

Repartir $1 450 000 entre tres corredores con tiempos de 72, 96 y 108 minutos, en razón inversamente proporcional al tiempo.

Se suman los inversos: $\frac{1}{72}+\frac{1}{96}+\frac{1}{108}=\frac{29}{864}$ . Constante: $\frac{1\,450\,000}{29/864}=43\,200\,000$ . Premios: $43\,200\,000\times\frac{1}{72}=600\,000$ ; $43\,200\,000\times\frac{1}{96}=450\,000$ ; $43\,200\,000\times\frac{1}{108}=400\,000$ .

Tabla

Lugar	Tiempo (min)	Cálculo	Premio ($)
1.º	72	$43\,200\,000\times\frac{1}{72}$	600 000
2.º	96	$43\,200\,000\times\frac{1}{96}$	450 000
3.º	108	$43\,200\,000\times\frac{1}{108}$	400 000
Total	—	—	1 450 000

Fórmulas y ecuaciones

Reparto inverso: $\frac{A}{\frac{1}{a}}=\frac{B}{\frac{1}{b}}=\frac{C}{\frac{1}{c}}=\frac{\text{Total}}{\sum \frac{1}{a_i}}$

Proporcionalidad directa: $y\div x=k$

Proporcionalidad inversa: $xy=k$

$\frac{A}{\frac{1}{72}}$ = $\frac{B}{\frac{1}{96}}$ = $\frac{C}{\frac{1}{108}}$ = $\frac{1\,450\,000}{\frac{29}{864}}$ $=43\,200\,000$

$A=43\,200\,000\times@@MATH_0@@=600\,000$

$B=43\,200\,000\times@@MATH_0@@=450\,000$

$C=43\,200\,000\times@@MATH_0@@=400\,000$

$y\div$ x=k

xy=k

Glosario (4)

Reparto inversamente proporcional: Distribución en la que a cada parte le corresponde el inverso de la magnitud asociada (por ejemplo, 1/tiempo), de modo que mayor magnitud implica menor parte.
Constante de proporcionalidad: Valor k que relaciona las variables: en la proporcionalidad directa y ÷ x = k; en la inversa, xy = k.
Proporcionalidad directa: Relación en la que las variables cambian en el mismo sentido y su cociente permanece constante.
Proporcionalidad inversa: Relación en la que al incremento de una variable corresponde la disminución de la otra, manteniendo constante su producto.

Preguntas para practicar

¿En qué situaciones de la vida cotidiana se presenta una proporcionalidad inversa?

Ejemplos: velocidad y tiempo en un trayecto (a mayor velocidad, menor tiempo), número de personas y tiempo para completar una tarea, presión y volumen de un gas a temperatura constante, o precio unitario y cantidad de dinero disponible.

¿Qué ocurriría con los premios si el corredor del primer lugar hubiera tardado 108 minutos?

Recibiría la parte menor ($400 000), porque en un reparto inversamente proporcional el mayor tiempo corresponde a la menor cantidad; el orden de los premios se invertiría respecto del tiempo empleado.

Temas y conceptos clave

Reparto inversamente proporcionalProporcionalidad directa e inversaConstante de proporcionalidadreparto inversorazones inversamente proporcionalescociente constante y ÷ x = kproducto constante xy = k

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📌 Antes de leer esto

• Suma de fracciones con denominador común
• Noción de razón y proporción
• Operar con fracciones y números grandes

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Problemas aplicados de proporcionalidad directa e inversa (velocidad, densidad, trabajo)

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Entonces, las razones inversamente proporcionales de acuerdo con la regla,son:

$\frac{A}{\frac{1}{72}}=\frac{B}{\frac{1}{96}}=\frac{C}{\frac{1}{108}}=\frac{1450000}{\frac{29}{864}}=43200000$

Por tanto, el ganador de la carrera se embolsará $600 O00, pues:

$A=43200000\times\frac{1}{72}=600000$

Al segundo lugar le corresponden $450 000, ya que:

$B=43200000\times\frac{1}{96}=450000$

Y, para el competidor que legó en tercer lugar, recibe $400 000, puesto que:

$C=43200000\times\frac{1}{108}=400000$

El ganador de la carrera recibió un monto mayor al de los competidores que llegaron en segundo y tercer lugar, es decir, el corredor que empleómenor tiempo en terminar la carrera ganó mayor cantidad de dinero,es por ello que en esta situación se presenta una relación proporcional inversa.

En un reparto proporcional directo, las variables involucradas cambian de la misma manera,es decir, experimentan cambios de magnitud en el mismo sentido, hacia arriba o abajo (constante de proporcionalidad). Por otro lado, en un reparto inversamente proporcional, el cambio que sufren las variables es de proporcionalidad inversa: al incremento de una, le corresponde la disminución de otra, de acuerdo con las razones proporcionales determinadas.

Existen fenómenos o situaciones donde intervienen variables que cambian de manera proporcional. Con el estudio de la relación proporcional entre las variables independiente y dependiente, denotadas, respectivamente, por x y y, se puede determinar si se trata de una relación proporcional directa (cuando el cociente entre las variables es constante, es decir, $y\div x=k)$ I o si se trata de una relación proporcional inversa (cuando la constante entre las cantidades de estas variables resulta de la multiplicación $xy=k$ 1.

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