Tercer criterio de semejanza (L-L-L) y resolución de problemas de congruencia

Enunciado: Si los lados de un triángulo son proporcionales a los lados de otro, entonces los dos triángulos son semejantes. Es decir, si

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}

entonces \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.

Explicación:

1. Sean \triangle ABC con lados a, b, c y \triangle A'B'C' con lados a', b', c'.
2. La condición \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} expresa que cada lado del primer triángulo es igual al lado correspondiente del segundo multiplicado por una misma constante de proporcionalidad k: a = k \cdot a', b = k \cdot b', c = k \cdot c'.
3. Al existir esa razón común entre los tres pares de lados correspondientes, los ángulos opuestos a esos lados resultan iguales: \alpha = \alpha', \beta = \beta', \gamma = \gamma'.
4. Tres ángulos iguales y lados proporcionales implican que las figuras tienen la misma forma, solo cambian de tamaño, es decir, son semejantes.

Enunciado: En la figura (página siguiente), \overline{AC} y \overline{BD} son rectas perpendiculares entre sí y B es el punto medio de \overline{AC}. Probar que \angle \alpha \cong \angle \beta.

Explicación:

1. Como \overline{AC} \perp \overline{BD}, los ángulos formados en la intersección son rectos: \angle ABD = \angle CBD = 90^{\circ}.
2. Como B es el punto medio de \overline{AC}, se tiene AB = BC.
3. El lado \overline{BD} es común a los triángulos \triangle ABD y \triangle CBD.
4. Se cumplen las condiciones de un mismo lado, un ángulo recto y otro lado: AB = BC, \angle ABD = \angle CBD = 90^{\circ}, BD = BD; por lo tanto \triangle ABD \cong \triangle CBD por el criterio lado-ángulo-lado (L-A-L).
5. Triángulos congruentes tienen ángulos correspondientes congruentes: \angle \alpha (en A) corresponde a \angle \beta (en C).
6. Por tanto \angle \alpha \cong \angle \beta.