Criterios de congruencia de triángulos: A-L-A y lado-lado-lado (L-L-L)

Explicar por qué, si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, el tercer ángulo también lo es.

1. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180^{\circ}.
2. Si en el primer triángulo los ángulos son \angle A, \angle B, \angle C y en el segundo \angle A', \angle B', \angle C', con \angle A \cong \angle A' y \angle B \cong \angle B', entonces m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ} y m\angle A' + m\angle B' + m\angle C' = 180^{\circ}.
3. Despejando: m\angle C = 180^{\circ} - m\angle A - m\angle B y m\angle C' = 180^{\circ} - m\angle A' - m\angle B'.
4. Como m\angle A = m\angle A' y m\angle B = m\angle B', al sustituir se obtiene m\angle C = m\angle C', es decir, \angle C \cong \angle C'.

Explicar el criterio A-L-A de congruencia.

1. Se tienen dos triángulos con dos ángulos respectivamente congruentes y un lado cualquiera (no necesariamente comprendido) respectivamente congruente.
2. Por el paso anterior, el tercer ángulo de cada triángulo también resulta congruente.
3. Así, los tres ángulos y el lado dado coinciden entre ambos triángulos: los triángulos son superponibles.

Enunciar y aplicar el tercer criterio: lado, lado, lado (L-L-L).

1. Enunciado: Dos triángulos son congruentes si cada uno de sus lados es respectivamente congruente con los lados del otro triángulo.
2. En la figura, se cumplen las igualdades: \overline{AC} \cong \overline{A'C'}, \overline{BC} \cong \overline{B'C'} y \overline{AB} \cong \overline{A'B'} (marcas de una, dos y tres rayas).
3. Como los tres pares de lados correspondientes son congruentes, se concluye \triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.

Responder: ¿si los tres ángulos de dos triángulos son respectivamente congruentes, los triángulos son necesariamente congruentes?

1. Supongamos un triángulo con ángulos 60^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ} y lados de longitud 2 cm.
2. Otro triángulo con los mismos ángulos pero lados de longitud 5 cm.
3. Los ángulos son respectivamente congruentes, pero los lados no lo son: los triángulos no son superponibles.
4. Se trata de triángulos semejantes (misma forma, distinto tamaño), no congruentes.

¿Para qué sirve estudiar la congruencia de triángulos?

1. Permite verificar o demostrar relaciones entre diferentes figuras o entre elementos de una misma figura.
2. Permite comparar figuras para saber si dos o más de ellas tienen la misma forma y tamaño.