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La página 25 expone ideas previas y dos criterios de semejanza de triángulos.

Ideas previas

1. Si dos triángulos son congruentes, también son semejantes (la congruencia implica semejanza con razón de semejanza k = 1).
2. Por claridad, se recomienda escribir los ángulos correspondientes en el mismo orden.
3. Existen criterios, llamados de semejanza de triángulos, que garantizan la semejanza entre dos triángulos.

Primer criterio: ángulo, ángulo, ángulo (A-A-A)

Condición: \angle\alpha \cong \angle\alpha', \quad \angle\beta \cong \angle\beta', \quad \angle\gamma \cong \angle\gamma'

Entonces: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

Justificación: las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180^{\circ}. Si se conocen las medidas de dos ángulos, queda determinada la medida del tercero. Es decir, basta la congruencia de dos pares de ángulos para que el tercer par también sea congruente, por lo que el criterio completo A-A-A se garantiza con dos ángulos correspondientes iguales.

Ejemplo numérico: si en \triangle ABC se tiene \angle\alpha = 50^{\circ} y \angle\beta = 60^{\circ}, entonces \angle\gamma = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 60^{\circ} = 70^{\circ}. Si en \triangle A'B'C' se tiene \angle\alpha' = 50^{\circ} y \angle\beta' = 60^{\circ}, entonces \angle\gamma' = 70^{\circ}; por tanto \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.

Segundo criterio: lado, ángulo, lado (L-A-L)

Condición: \frac{a}{c} = \frac{a'}{c'} y \angle\beta \cong \angle\beta'

Entonces: \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

Aquí \angle\beta es el ángulo comprendido entre los lados a y c (y \angle\beta' entre a' y c'): los dos lados que forman el ángulo son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

Ejemplo numérico: si a = 6, c = 9, a' = 4, c' = 6 y \angle\beta = \angle\beta' = 45^{\circ}, entonces \frac{a}{c} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} y \frac{a'}{c'} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, de modo que \frac{a}{c} = \frac{a'}{c'} y, con el ángulo comprendido igual, se concluye \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.

Respuesta: La página enseña los criterios A-A-A (tres ángulos correspondientes congruentes implica \triangle ABC \sim \triangle A'B'C') y L-A-L (dos lados proporcionales con el ángulo comprendido congruente implica \triangle ABC \sim \triangle A'B'C').