Criterios de congruencia de triángulos

Primer criterio: lado, ángulo, lado (L-A-L)

Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en uno de los triángulos son respectivamente congruentes con un par de lados y el ángulo comprendido entre ellos del otro triángulo.

1. Se identifican en ΔABC los elementos: dos lados \overline{AB} y \overline{AC} y el ángulo comprendido \angle A.
2. Se comparan con los elementos correspondientes de \Delta A'B'C': se comprueba que \overline{AB}\cong\overline{A'B'}, \overline{AC}\cong\overline{A'C'} y \angle A\cong\angle A'.
3. Como los tres elementos están apareados y el ángulo es el comprendido entre los dos lados, se aplica el criterio L-A-L y se concluye: \Delta ABC\cong\Delta A'B'C'

Aplicación importante: con este criterio se puede probar el teorema: "En un triángulo, ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes". Si en un triángulo \overline{AB}\cong\overline{AC}, se duplica el triángulo reflejando una mitad para formar un segundo triángulo congruente por L-A-L, y de ahí se deduce que los ángulos opuestos a esos lados son congruentes.

Segundo criterio: ángulo, lado, ángulo (A-L-A)

Dos triángulos son congruentes si un lado y los ángulos adyacentes a ese lado en uno de los triángulos son respectivamente congruentes con uno de los lados y sus ángulos adyacentes del otro triángulo.

1. En \Delta ABC se toma el lado \overline{AC} y sus ángulos adyacentes \angle A y \angle C.
2. En \Delta A'B'C' se comparan el lado \overline{A'C'} y sus ángulos adyacentes \angle A' y \angle C'.
3. Se comprueba que \overline{AC}\cong\overline{A'C'}, \angle A\cong\angle A' y \angle C\cong\angle C'.
4. Los tres elementos están apareados y el lado es el que une los dos ángulos, por lo que se aplica el criterio A-L-A: \Delta ABC\cong\Delta A'B'C'

Nota: ambos criterios exigen que los elementos estén en la disposición correcta (el ángulo comprendido entre los dos lados en L-A-L; el lado comprendido entre los dos ángulos en A-L-A). Elementos en otra disposición (por ejemplo, lado-lado-ángulo no comprendido) no garantizan la congruencia.