Ejemplos resueltos: congruencia de triángulos (LLL, ALA)
Respuesta rápida
Ejemplo 1: \angle \alpha \cong \angle eta (triángulos congruentes por LLL). Ejemplo 2: x = 12, y = 7. Ejemplo 3: \angle H \cong \angle R (triángulos congruentes por LLL).
Solución — Página 28
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 1
Completar: probar que los ángulos \alpha y eta son congruentes, sabiendo que \overline{AC} \perp \overline{BD} y que B es el punto medio de \overline{AC}.
- Como \overline{AC} \perp \overline{BD}, los triángulos riangle ABD y riangle CBD son rectángulos (\angle ABD = \angle CBD = 90^\circ).
- Como B es el punto medio de \overline{AC}, se tiene \overline{AB} \cong \overline{BC}.
- El lado \overline{DB} es común a ambos triángulos.
- Se tienen dos pares de lados congruentes y los ángulos rectos entre ellos: L ext{-}L ext{-}A (o bien se usan los dos catetos y la hipotenusa: L ext{-}L ext{-}L).
- Por lo tanto, riangle ABD \cong riangle CBD por congruencia.
- Al ser congruentes, sus ángulos correspondientes son congruentes: \angle \alpha \cong \angle eta.
Respuesta: \angle \alpha \cong \angle eta.
Ejemplo 2
En la figura, si E es el punto medio de \overline{AB} y \overline{AC} \parallel \overline{DB}, encontrar los valores de x e y.
- \angle \alpha \cong \angle eta porque son ángulos opuestos por el vértice.
- Como E es el punto medio de \overline{AB}, \overline{AE} \cong \overline{EB}.
- Como \overline{AC} \parallel \overline{DB} con transversal \overline{AB}, \angle A \cong \angle B (ángulos alternos internos).
- Con \angle \alpha \cong \angle eta, \overline{AE} \cong \overline{EB} y \angle A \cong \angle B: riangle AEC \cong riangle BED por A ext{-}L ext{-}A.
- Por congruencia: \overline{CE} \cong \overline{ED}, por tanto x = 12.
- También \overline{AC} \cong \overline{DB}, por tanto y = 7.
Respuesta: x = 12, y = 7.
Ejemplo 3
En la figura, \overline{AH} \cong \overline{BR} y \overline{BH} \cong \overline{AR}. Probar que \angle H \cong \angle R.
- Identificar los triángulos riangle ABH y riangle ABR.
- Dato: \overline{AH} \cong \overline{BR}.
- Dato: \overline{BH} \cong \overline{AR}.
- El lado \overline{AB} es común a ambos triángulos: \overline{AB} \cong \overline{AB}.
- Se tienen tres pares de lados congruentes: riangle ABH \cong riangle ABR por L ext{-}L ext{-}L.
- Por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes: \angle H \cong \angle R.
Respuesta: \angle H \cong \angle R.
Contenido de la página
Solución (Ejemplo 1)
Como \overline{AC} \perp \overline{BD}, \triangle ABD y \triangle CBD son triángulos rectángulos y como B es punto medio de \overline{AC}, entonces \overline{AB} \cong \overline{BC}. Por otro lado, \overline{DB} es el lado común de los triángulos \triangle ABD y \triangle CBD, por lo tanto, éstos son congruentes por el criterio de congruencia L-L-L, lo cual implica que sus ángulos correspondientes son congruentes.
Ejemplo 2
En la figura, si E es el punto medio de \overline{AB} y \overline{AC} \parallel \overline{DB}, encontrar los valores de x e y.
Solución
\angle \alpha \cong \angle \beta porque son ángulos opuestos por el vértice.
\overline{AE} \cong \overline{EB} porque E es el punto medio de \overline{AB} y \angle A \cong \angle B porque son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces, \triangle AEC \cong \triangle BED debido al criterio de congruencia A-L-A. Luego, \overline{CE} \cong \overline{ED}, por tanto x = 12, y como \overline{DB} \cong \overline{AC}, y = 7.
Por tanto, x = 12 e y = 7.
Ejemplo 3
En la figura \overline{AH} \cong \overline{BR} y \overline{BH} \cong \overline{AR}. Probar que \angle H \cong \angle R.
Solución
Como \overline{AH} \cong \overline{BR}, \overline{BH} \cong \overline{AR}, y como el lado \overline{AB} es común a ambos triángulos, se tiene que \triangle ABH \cong \triangle ABR por el criterio de congruencia L-L-L.
Luego, \angle H \cong \angle R por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Con \overline{AC} \perp \overline{BD} y B punto medio de \overline{AC}, probar que \angle \alpha \cong \angle \beta.
\triangle ABD y \triangle CBD son rectángulos, \overline{AB} \cong \overline{BC} por punto medio, \overline{DB} común. Congruentes por L-L-L, luego \angle \alpha \cong \angle \beta.
Ejemplo 2: Si E es punto medio de \overline{AB} y \overline{AC} \parallel \overline{DB}, hallar x e y.
\angle \alpha \cong \angle \beta (opuestos por el vértice), \overline{AE} \cong \overline{EB}, \angle A \cong \angle B (alternos internos). \triangle AEC \cong \triangle BED (A-L-A), luego x = 12, y = 7.
Ejemplo 3: Con \overline{AH} \cong \overline{BR} y \overline{BH} \cong \overline{AR}, probar \angle H \cong \angle R.
\overline{AB} común, \triangle ABH \cong \triangle ABR por L-L-L, luego \angle H \cong \angle R por elementos correspondientes.
Tabla
| Ejemplo | Datos | Criterio usado | Resultado |
|---|---|---|---|
| 1 | \overline{AC} \perp \overline{BD}, B punto medio | L-L-L | \angle \alpha \cong \angle \beta |
| 2 | E punto medio, \overline{AC} \parallel \overline{DB} | A-L-A | x=12, y=7 |
| 3 | \overline{AH} \cong \overline{BR}, \overline{BH} \cong \overline{AR} | L-L-L | \angle H \cong \angle R |
Diagrama
graph LR
subgraph Ejemplo2
A[A] ---|7| C[C]
A --- E[E]
E ---|x| C
E ---|y| B[B]
D[D] ---|12| E
A --- B
C --- B
end
Fórmulas y ecuaciones
Criterio de congruencia L-L-L (tres lados iguales)
Criterio de congruencia A-L-A (dos ángulos y el lado incluido)
Ángulos opuestos por el vértice son congruentes
Ángulos alternos internos entre rectas paralelas son congruentes
\overline{AC} \perp \overline{BD}
\overline{AB} \cong \overline{BC}
\triangle ABD \cong \triangle CBD
\angle \alpha \cong \angle \beta
\overline{AC} \parallel \overline{DB}
\overline{AE} \cong \overline{EB}
\triangle AEC \cong \triangle BED
x = 12, \; y = 7
\overline{AH} \cong \overline{BR}, \; \overline{BH} \cong \overline{AR}
\triangle ABH \cong \triangle ABR
\angle H \cong \angle R
Glosario (6)
- Congruencia de triángulos
- Relación que indica que dos triángulos tienen exactamente la misma forma y tamaño; sus lados y ángulos correspondientes son iguales.
- Criterio L-L-L
- Si los tres lados de un triángulo son congruentes a los tres lados de otro triángulo, entonces son congruentes.
- Criterio A-L-A
- Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes a los elementos correspondientes de otro, los triángulos son congruentes.
- Ángulos opuestos por el vértice
- Par de ángulos formados por dos rectas que se cruzan, opuestos entre sí y siempre congruentes.
- Ángulos alternos internos
- Par de ángulos situados entre dos rectas paralelas y a lados opuestos de la transversal; son congruentes.
- Elementos correspondientes
- Lados o ángulos que ocupan la misma posición en triángulos congruentes; son congruentes entre sí.
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria, Grado 3°, Ciclo Escolar 2025-2026, México.
Figuras de la página (3)
Preguntas que la gente también hace
¿Qué dice el criterio de congruencia LLL?
¿Cómo se usa el criterio ALA para probar que dos triángulos son congruentes?
¿Qué relación tienen los ángulos alternos internos cuando dos rectas son paralelas?
- • Rectas perpendiculares y paralelas
- • Punto medio de un segmento
- • Ángulos opuestos por el vértice
- • Ángulos alternos internos
- • Definición de triángulo rectángulo
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1551 caracteres
Solución
Como \overline{AC}\perp\overline{BD} , ∆ABD y ∆CBD son triángulos rectángulos y como B es punto medio de \overline{AC}, (entonces \overline{AB}\cong\overline{BC} '. Por otro lado, DB es el lado común de los triángulos \Delta ABD y\Delta CBD por lo tanto, éstos son congruentes por el criterio de congruencia L-L-L_2 , lo cual implica que sus ángulos correspondientes son congruentes.
Ejemplo2
En la figura, si E es el punto medio de \overline{AB}y\overline{AC}\parallel\overline{DB} encontrar los valores de x y y.
Solución
\angle\alpha\cong\angle\beta .porque son ángulos opuestos por el vértice.
\overline{AE}\cong\overline{EB} porque E es el punto medio de \overline{AB}y\angle A\cong\angle B porque son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces,\Delta A E C\cong\Delta B E D debido al criterio de congruencia A-L-A Luego,\overline{CE}\cong\overline{ED} , por tanto x=12,y\bmod\overline{DB}\cong\overline{AC},y=7
Por tanto,x=12y y=7
Ejemplo 3
En la fi gura \overline{AH}\cong\overline{BR}\quad\mathrm{y}\quad\overline{BH}\cong\overline{AR} Probar que \angle H\cong\angle R
Solución
Como \overline{AH}\cong\overline{BR},\overline{BH}\cong\overline{AR} , y como el lado mún a ambos triángulos, se tiene que por el criterio de congruencia L-L-L
Luego,\angle H\cong\angle R por ser elementos correspondientes de triángulos congruentes.
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