Comprensión de los criterios de semejanza de triángulos

La semejanza de triángulos indica las condiciones que deben cumplirse para que dos triángulos tengan la misma forma. Al igual que con la congruencia, existen criterios de semejanza.

Definición de figuras semejantes

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Matemáticamente, eso quiere decir que sus lados son proporcionales entre sí. El símbolo \sim denota semejanza.

Notación y condiciones

Considérense \triangle ABC y \triangle A'B'C', en los cuales la medida del lado opuesto a cada ángulo se identifica con su correspondiente letra minúscula (a opuesto a \angle A, b opuesto a \angle B, c opuesto a \angle C, y análogamente a', b', c' en el triángulo A'B'C').

Se dice que

\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

es decir, son semejantes si se cumplen las DOS condiciones:

1. Los ángulos correspondientes son congruentes:

\angle A \cong \angle A', \quad \angle B \cong \angle B', \quad \angle C \cong \angle C'

2. Los lados correspondientes son proporcionales:

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}

En este caso, \angle A, \angle B y \angle C son respectivamente correspondientes con \angle A', \angle B' y \angle C'. La expresión \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' indica que \triangle ABC es semejante a \triangle A'B'C'.

Consideraciones importantes

• Dos triángulos semejantes tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.
• Los lados correspondientes se emparejan según el orden de los vértices que se escriben en la semejanza.
• Si los triángulos son semejantes, el cociente de sus áreas es el cuadrado del factor de proporcionalidad k: \frac{\text{área}(\triangle ABC)}{\text{área}(\triangle A'B'C')} = k^2, donde k = \frac{a}{a'}.

Respuesta: Dos triángulos son semejantes (\sim) cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales (\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}).