Cono: definición, desarrollo plano y área de la cara lateral

Explicar qué es un cono, cómo se forma su cara lateral y cómo se obtiene su desarrollo plano.

1. Definición: un cono es un sólido geométrico delimitado por una cara curva (la cara lateral) y una cara plana (la base circular). Se define a partir de su base circular y de un punto exterior al plano del círculo llamado vértice.
2. La cara lateral curva es la unión de todos los segmentos que conectan el vértice con cada punto del perímetro de la base. La longitud de cualquiera de estos segmentos se llama altura lateral, denotada h_L.
3. El desarrollo plano (superficie desplegada) de un cono se compone de:
   • el círculo de la base, de radio r;
   • un sector circular cuyo radio es igual a la altura lateral h_L y cuyo arco mide la circunferencia de la base, es decir, 2\pi r.
4. El área de ese sector circular (cara lateral desplegada) se calcula con el radio de la base r y la altura lateral h_L: A_L = \pi r h_L Justificación: el área de un sector es \frac{1}{2}\times (\text{radio del sector})\times(\text{longitud del arco}). Sustituyendo radio del sector = h_L y arco = 2\pi r: A_L = \frac{1}{2}\cdot h_L \cdot 2\pi r = \pi r h_L

Un cono tiene radio de base r = 5 \, \text{cm} y altura lateral h_L = 13 \, \text{cm}. Calcular el área de su cara lateral.

1. Identificar los datos: r = 5 \, \text{cm}, h_L = 13 \, \text{cm}.
2. Aplicar la fórmula del área lateral: A_L = \pi r h_L.
3. Sustituir los valores: A_L = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \, \text{cm}^{2}.
4. Aproximar con \pi \approx 3.14: A_L \approx 65 \times 3.14 = 204.1 \, \text{cm}^{2}.

Si el área lateral de un cono es A_L = 100\pi \, \text{cm}^{2} y la altura lateral es h_L = 10 \, \text{cm}, ¿cuál es el radio de la base?

1. Despejar r de A_L = \pi r h_L: r = \dfrac{A_L}{\pi h_L}.
2. Sustituir: r = \dfrac{100\pi}{\pi \times 10}.
3. Simplificar: r = \dfrac{100}{10} = 10 \, \text{cm}.