Ecuaciones de la forma Ax^{2} + Bx + C = 0 por factorización y fórmula general

Enunciado de la página: Las ecuaciones de segundo grado de la forma Ax^{2} + Bx + C = 0 sirven para representar y resolver diferentes tipos de problemas donde la incógnita x no se puede despejar directamente, ya que está acompañada por un término con potencia dos.

Contenido conceptual

1. Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) es aquella en la que el mayor exponente de la incógnita es 2. Su forma general es:

Ax^{2} + Bx + C = 0, \quad A \ne 0

2. A es el coeficiente principal (del término cuadrático), B el coeficiente lineal y C el término independiente.

3. A diferencia de las ecuaciones lineales (mx + n = 0), aquí la incógnita x aparece elevada al cuadrado, por lo que no se puede despejar con operaciones lineales simples.

4. Método 1: Factorización. Consiste en escribir la expresión Ax^{2} + Bx + C como producto de dos factores de primer grado, (px + q)(rx + s) = 0, y aplicar la propiedad del producto nulo:

px + q = 0 \quad \text{ó} \quad rx + s = 0

Ejemplo: x^{2} - 5x + 6 = 0 se factoriza como (x - 2)(x - 3) = 0, de donde x = 2 o x = 3.

5. Método 2: Fórmula general. Para toda ecuación Ax^{2} + Bx + C = 0 con A \ne 0:

x = \frac{-B \pm \sqrt{B^{2} - 4AC}}{2A}

El discriminante \Delta = B^{2} - 4AC determina el número de soluciones reales: si \Delta > 0 hay dos soluciones distintas; si \Delta = 0 hay una solución doble; si \Delta < 0 no hay soluciones reales.

6. Uso: estas ecuaciones modelan problemas de áreas, movimientos con aceleración, situaciones de maximización y minimización, entre otros, donde la variable aparece con potencia dos.

Respuesta: El capítulo presenta las ecuaciones de segundo grado Ax^{2} + Bx + C = 0 y sus dos métodos de solución: factorización y fórmula general.