Desarrollo plano de un cono: escultura de metal

Ejemplo

Una escultura tiene forma de cono con radio de base r = 6 \, \text{m} y altura h = 8 \, \text{m}. Se pide identificar el desarrollo plano hecho sobre la lámina de metal.

El desarrollo plano de un cono se compone de dos piezas:

1. La base, que es un círculo de radio r = 6 \, \text{m}.
2. La cara curva lateral, que es un sector circular cuyo radio es la altura lateral L del cono (distancia del vértice a cualquier punto de la circunferencia base).

Cálculo de la altura lateral

Para obtener la altura lateral, se usa un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura del cono (8 \, \text{m}) y el radio de la base (6 \, \text{m}):

1. Aplicamos el teorema de Pitágoras: L = \sqrt{r^{2} + h^{2}}
2. Sustituimos los valores: L = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}
3. Elevamos al cuadrado: L = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}
4. Extraemos la raíz cuadrada: L = 10 \, \text{m}

Por eso el triángulo rectángulo del desarrollo mide 6 \, \text{m} (cateto), 8 \, \text{m} (cateto) y 10 \, \text{m} (hipotenusa), que es el radio del sector circular lateral.

Longitud del lado curvo del sector

La longitud del arco del sector circular coincide con el perímetro de la base del cono:

1. Fórmula del perímetro de la circunferencia base: L_{C} = 2\pi r
2. Sustituimos r = 6 \, \text{m}: L_{C} = 2\pi(6)
3. Multiplicamos: L_{C} = 12\pi \approx 37.7 \, \text{m}

Respuesta: El desarrollo plano consta de un círculo de radio 6 \, \text{m} (base) y un sector circular de radio 10 \, \text{m} (altura lateral) cuyo arco mide L_{C} = 12\pi \approx 37.7 \, \text{m}.