Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización

Resolución de x^{2} - 16 = 0 por factorización.

1. Se identifica que B = 0 y C = -16, por lo que la ecuación en forma polinomial es: x^{2} + 0x - 16 = 0
2. Se buscan dos números que sumados den 0 y multiplicados den -16: son -4 y +4, ya que -4 + 4 = 0 y -4 \times 4 = -16.
3. Se escribe la factorización: (x - 4)(x + 4) = 0
4. Se iguala el primer factor a cero: x - 4 = 0 \implies x = 4
5. Se iguala el segundo factor a cero: x + 4 = 0 \implies x = -4
6. Verificación: 4^{2} - 16 = 16 - 16 = 0 ✔ y (-4)^{2} - 16 = 16 - 16 = 0 ✔.

Resolver (x + 3)(x + 3) = 0.

1. Los dos factores son iguales: x + 3.
2. Se iguala a cero: x + 3 = 0.
3. Se despeja x: x = -3.

Pregunta abierta: ¿Por qué cuando los factores son diferentes hay que igualar cada uno por separado?

Cuando el producto de dos factores es cero, al menos uno debe ser cero (propiedad del anillo integral). Si los factores son distintos, cualquiera de los dos puede anularse, por lo que hay que resolver f_1(x) = 0 y f_2(x) = 0 por separado para obtener las dos soluciones posibles. En cambio, si ambos factores son idénticos, solo hay una ecuación y la solución se repite.

Respuesta: porque cualquiera de los dos factores puede ser el que valga cero; al resolverlos por separado se obtienen las dos soluciones posibles.