Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización cuando A ≠ 1

Completar la factorización de la ecuación cuadrática con A ≠ 1 y hallar sus raíces, sabiendo que se buscan dos números que multiplicados den +12 (producto AC) y sumados den −7 (B).

1. Se identifican los coeficientes: el producto buscado es AC = 12 y la suma buscada es B = -7.
2. Se proponen pares de números cuyo producto sea 12: (1,12), (2,6), (3,4) y sus negativos.
3. Se verifican las sumas: (-3) + (-4) = -7 y (-3) \times (-4) = 12. ¡Cumplen ambas condiciones!
4. Por lo tanto, los números buscados son -3 y -4, y la factorización es:

(2x - 3)(2x - 4) = 0

5. Se aplica la propiedad del producto nulo: si el producto de dos factores es cero, al menos uno debe ser cero.
6. Primer factor igualado a cero:

2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2}

7. Segundo factor igualado a cero:

2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x_2 = \frac{4}{2} = 2

8. Verificación sustituyendo en la ecuación original (la cual era 4x^2 - 14x + 12 = 0, equivalente a (2x-3)(2x-4)=0 expandida):
   • Para x_1 = \frac{3}{2}: 4\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 14\left(\frac{3}{2}\right) + 12 = 4\left(\frac{9}{4}\right) - 21 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0 ✓
   • Para x_2 = 2: 4(2)^2 - 14(2) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 ✓

¿Por qué es importante analizar la estructura de la ecuación cuadrática antes de elegir un método de solución?

1. El análisis permite identificar los valores de A, B y C al escribir la ecuación en su forma polinómica Ax^2 + Bx + C = 0.
2. Si A = 1 o si A \neq 1 pero los coeficientes admiten factorización en números enteros racionales, el método de factorización puede ser más rápido y sencillo.
3. Si los coeficientes no facilitan la factorización, conviene recurrir a la fórmula general x = \dfrac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, que siempre funciona.

Respuesta orientativa: Analizar la estructura permite decidir si la ecuación es factorizable y elegir el método más eficiente; el análisis da información sobre si existen soluciones reales (por el discriminante) y garantiza que, cualquiera que sea el método elegido, los resultados deben coincidir.

Comparar los dos métodos para resolver Ax^2 + Bx + C = 0.

1. Fórmula general: sirve para cualquier ecuación cuadrática, sin importar los valores de A, B, C, siempre que A \neq 0 y el discriminante B^2 - 4AC \geq 0.
2. Factorización: puede ser más sencilla cuando los coeficientes permiten descomponer el trinomio en factores de primer grado (por ejemplo, cuando existe un par de números que multiplicados dan AC y sumados dan B).
3. En ambos métodos, primero hay que escribir la ecuación en su forma polinómica e identificar A, B y C.
4. Los resultados de ambos métodos siempre deben coincidir; de lo contrario, hay un error en alguno de los procedimientos.