Formulación, justificación y uso del teorema de Pitágoras al resolver problemas

Esta página es la introducción de un tema (capítulo) de matemáticas de Telesecundaria. No contiene ejercicios numéricos, sino la presentación de los contenidos que se estudiarán. A continuación se explica cada idea mencionada.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, \angle = 90^{\circ}).

El mismo teorema se aplica con números y con la distancia entre dos puntos del plano cartesiano:

d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}

Ejemplo: si a = 3 y b = 4, entonces c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25, de modo que c = \sqrt{25} = 5.

Se prueba el teorema descomponiendo (recortando y reordenando) cuadrados y triángulos, de modo que el área total se conserva. Por ejemplo, al disponer cuatro triángulos rectángulos congruentes dentro de un cuadrado de lado a+b se obtiene que el área del cuadrado grande es (a+b)^{2}, y al restar los cuatro triángulos, 4 \cdot \tfrac{ab}{2} = 2ab, queda el área de los dos cuadrados interiores: a^{2} + b^{2}. Como (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}, al cancelar 2ab se obtiene que la suma de las áreas a^{2} + b^{2} es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa c^{2}.

• Uso directo: se conocen los catetos y se busca la hipotenusa: c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.
• Contraparte inversa: se conocen tres longitudes y se verifica si cumplen a^{2} + b^{2} = c^{2}; si así es, forman un triángulo rectángulo (o el ángulo buscado es recto). Por ejemplo, 6, 8, 10: 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2}, sí es rectángulo.

Son problemas en los que no es posible medir directamente un segmento (por un obstáculo, altura o separación). Se modelan con un triángulo rectángulo y se calcula la distancia desconocida. Ejemplo: desde un punto A se camina 30 \, \text{m} y se gira 90^{\circ} para llegar 40 \, \text{m} hasta el punto B; la distancia directa AB es c = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, \text{m}.

Respuesta orientativa: este capítulo te permitirá formular, justificar y usar el teorema de Pitágoras en sus versiones directa e inversa para resolver problemas prácticos con triángulos rectángulos, especialmente de distancias que no se pueden medir directamente.