Ejemplo 1

Una escalera de 3 \, \text{m} de longitud está recargada sobre la pared y su otro extremo dista de ella 1 \, \text{m}. Se pide conocer la altura que alcanza la escalera sobre la pared.

1. Se identifica el triángulo rectángulo formado por la pared, el piso y la escalera: la pared y el piso forman un ángulo recto.
2. Se identifican los lados conocidos: la escalera es la hipotenusa c = 3 y la distancia en el piso es un cateto b = 1.
3. Se aplica el teorema de Pitágoras despejando el cateto desconocido a: a^{2} + b^{2} = c^{2}, entonces a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}.
4. Se sustituyen los valores: a = \sqrt{3^{2} - 1^{2}}.
5. Se elevan al cuadrado: 3^{2} = 9 y 1^{2} = 1, por lo que a = \sqrt{9 - 1}.
6. Se realiza la resta bajo la raíz: a = \sqrt{8}.
7. Se calcula la raíz cuadrada: a \approx 2.83.

Respuesta: La altura que alcanza la escalera sobre la pared es aproximadamente 2.83 \, \text{m}.

Complemento: preguntas de la página

¿Por qué el teorema de Pitágoras permite resolver problemas de cálculo de distancias?

Respuesta orientativa: Porque el teorema relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo mediante la igualdad a^{2} + b^{2} = c^{2}. Si se conocen dos lados, se puede despejar el tercero mediante cuadrados y raíces cuadradas, lo que permite hallar distancias inaccesibles o difíciles de medir directamente, como alturas de paredes o separaciones en el piso.

¿Por qué la mayoría de las paredes y los árboles forman ángulos rectos con el piso y qué importancia tiene esto para aplicar el teorema?

Respuesta orientativa: Las paredes y los árboles se construyen o crecen de modo vertical respecto del piso, por lo que forman con él un ángulo recto de 90^{\circ}. Esta perpendicularidad garantiza que la situación corresponda a un triángulo rectángulo, condición indispensable para aplicar el teorema de Pitágoras.