Teorema de Pitágoras: formulación analítica y geométrica

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Esta página es teoría; no contiene ejercicios propuestos, pero se explican las deducciones mostradas.

1. Planteamiento del teorema: c^{2} = a^{2} + b^{2}.
2. Aplicamos raíz cuadrada a ambos lados: \sqrt{c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.
3. Simplificamos: c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.

1. Partimos de c^{2} = a^{2} + b^{2}.
2. Restamos b^{2} en ambos lados: c^{2} - b^{2} = a^{2}.
3. Aplicamos raíz: \sqrt{c^{2} - b^{2}} = \sqrt{a^{2}}.
4. Simplificamos: \sqrt{c^{2} - b^{2}} = a.

1. Partimos de c^{2} = a^{2} + b^{2}.
2. Restamos a^{2}: c^{2} - a^{2} = b^{2}.
3. Aplicamos raíz: \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{b^{2}}.
4. Simplificamos: \sqrt{c^{2} - a^{2}} = b.

Mediante estas fórmulas el teorema permite manejar datos numéricos, como medidas conocidas de objetos o distancias entre ellos, y calcular una medida desconocida que podría ser inaccesible por obstáculos que impidan medirla directamente (por ejemplo, medir la anchura de un río o la altura de un árbol de forma indirecta).

Al construir un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo:

1. El cuadrado sobre el cateto a tiene área A_{a} = a^{2}.
2. El cuadrado sobre el cateto b tiene área A_{b} = b^{2}.
3. El cuadrado sobre la hipotenusa c tiene área A_{c} = c^{2}.
4. El teorema establece que el área del cuadrado sobre la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos:

A_{c} = A_{a} + A_{b} \implies c^{2} = a^{2} + b^{2}

Esto muestra que la formulación analítica y la geométrica son equivalentes: una es la expresión algebraica y la otra la representación visual en áreas.