Cálculo de probabilidad de eventos dependientes e independientes
Respuesta rápida
P(H|B) = 45/89 ≈ 0.506 (≈ 50,6 %). P(B) = 0.445; P(H∩B) = 0.225.
Solución — Página 88
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Ejemplo 1 (página 87)
En una elección a la gubernatura hay dos alianzas A y B. El 45\% de los votantes son hombres (H) y el 55\% son mujeres (M). El 50\% de los hombres votó por B y el otro 50\% por A; el 20\% de las mujeres votó por B y el 60\% por A (los demás se abstuvieron). Se elige al azar una persona que haya votado: ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre dado que votó por la alianza B?
Se convierten los porcentajes a decimales, válidos en el intervalo cerrado [0,1]:
- P(H) = 0.45, P(M) = 0.55
- Entre los hombres que votaron: P(A \mid H) = 0.5, P(B \mid H) = 0.5
- Entre las mujeres que votaron: P(A \mid M) = 0.6, P(B \mid M) = 0.4
Se representa la situación con un diagrama de árbol (primer nivel: sexo; segundo nivel: alianza votada).
Se calcula la intersección de ser hombre y haber votado por B con la regla del producto: P(H \cap B) = P(H) \times P(B \mid H) = (0.45)(0.5) = 0.225
Se calcula la intersección de ser mujer y haber votado por B: P(M \cap B) = P(M) \times P(B \mid M) = (0.55)(0.4) = 0.220
Se obtiene la probabilidad total de haber votado por B (regla de la suma): P(B) = P(H \cap B) + P(M \cap B) = 0.225 + 0.220 = 0.445
Se aplica la definición de probabilidad condicional: P(H \mid B) = \frac{P(H \cap B)}{P(B)} = \frac{0.225}{0.445} = \frac{225}{445} = \frac{45}{89} \approx 0.506
Respuesta: P(H \mid B) = \dfrac{45}{89} \approx 0.506 (aproximadamente 50.6\%).
Nota sobre el texto de la página
El libro escribe P(H \cap B) = P(H) \times P(H \mid B) = (0.45)(0.5) = 0.225; la notación correcta es P(H) \times P(B \mid H), ya que se condiciona a haber votado por B. El valor numérico es el mismo porque P(B \mid H) = 0.5.
Contenido de la página
Cálculo de probabilidad de eventos dependientes e independientes
La probabilidad de ocurrencia de eventos dependientes o independientes se puede identificar en distintas situaciones y contextos. A continuación, se proporcionarán algunos ejemplos en los que se pueden apreciar sus aplicaciones.
Ejemplo 1
En una elección por la gubernatura de una entidad del país se conformaron dos alianzas: A y B. De acuerdo con el padrón electoral, 45\% de los votantes son hombres y 55\% mujeres. Además, se sabe que 50\% de los hombres votó por B y el otro 50\%, por A. Un 20\% de las mujeres votó por B y 60\%, por A. Los demás electores se abstuvieron. Se elige una persona al azar que haya votado; se desea saber la probabilidad de que sea hombre dado que votó por la alianza B.
Primero se representan los porcentajes en forma decimal, lo cual es válido ya que la medida de probabilidad de un evento está comprendida en el intervalo cerrado [0,1], o bien la suma de eventos complementarios es igual a la unidad.
Diagrama de árbol: raíz con ramas 0.45 (H) y 0.55 (M); de H ramas 0.5 (A) y 0.5 (B); de M ramas 0.6 (A) y 0.4 (B).
P(H \cap B) = P(H) \times P(B \mid H) = (0.45)(0.5) = 0.225
P(M \cap B) = P(M) \times P(B \mid M) = (0.55)(0.4) = 0.22
Se utiliza la expresión:
P(H \mid B) = \frac{P(H \cap B)}{P(B)}
La intersección de que sea hombre (H) y haya votado por la alianza B se obtiene multiplicando los valores de sus eventos: P(H \cap B) = (0.45)(0.5) = 0.225.
Aquí sólo se aplica la regla del producto e independencia: la probabilidad de uno no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro.
Ejemplos resueltos
Elección con alianzas A y B: 45% hombres, 55% mujeres; 50% de hombres votó B, 40% de mujeres votó B. Probabilidad de que sea hombre dado que votó por B.
P(H∩B)=0.45·0.5=0.225; P(M∩B)=0.55·0.4=0.22; P(B)=0.445; P(H|B)=0.225/0.445≈0.506.
Tabla
| Evento | Probabilidad |
|---|---|
| P(H) | 0.45 |
| P(M) | 0.55 |
| P(B|H) | 0.5 |
| P(B|M) | 0.4 |
| P(H∩B) | 0.225 |
| P(M∩B) | 0.22 |
| P(B) | 0.445 |
| P(H|B) | 45/89 ≈ 0.506 |
Diagrama
graph TD
R[Raíz] -->|0.45| H[Hombre]
R -->|0.55| M[Mujer]
H -->|0.5| HA[H ∩ A]:::sol
H -->|0.5| HB[H ∩ B]:::res
M -->|0.6| MA[M ∩ A]:::sol
M -->|0.4| MB[M ∩ B]:::res
classDef res fill:#f9c,stroke:#333;
classDef sol fill:#cff,stroke:#333;
Fórmulas y ecuaciones
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
P(H \cap B) = P(H) \times P(B \mid H) = (0.45)(0.5) = 0.225
P(M \cap B) = P(M) \times P(B \mid M) = (0.55)(0.4) = 0.22
P(H \mid B) = \frac{P(H \cap B)}{P(B)}
Glosario (4)
- Probabilidad condicional
- Probabilidad de que ocurra un evento A sabiendo que ya ocurrió otro evento B: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
- Eventos independientes
- Eventos donde la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro: P(A∩B) = P(A)·P(B).
- Regla del producto
- Para calcular la intersección: P(A∩B) = P(A)·P(B|A).
- Diagrama de árbol
- Representación gráfica de probabilidades mediante ramas sucesivas.
Preguntas para practicar
¿Qué representa cada rama del diagrama de árbol?
Cada rama representa la probabilidad de un evento condicionado al anterior: el primer nivel da P(H) y P(M); el segundo, la probabilidad de votar por A o B dado el sexo.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula una probabilidad condicional con un diagrama de árbol?
¿Qué diferencia hay entre eventos dependientes e independientes?
¿Cómo se aplica la regla del producto en probabilidad?
- • Porcentajes y su conversión a decimales
- • Probabilidad básica de un evento
- • Noción de intersección de eventos
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1716 caracteres
Cálculo de probabilidad de eventos dependientes e independientes
La probabilidad de ocurrencia de eventos dependientes o independientes se puede identificar en distintas situaciones y contextos. A continuación, se proporcionarán algunos ejemplos en los que se pueden apreciar sus aplicaciones.
Ejemplo 1
En una elección por la gubernatura de una entidad del pais, se conformaron dos alianzas: A y B. De acuerdo con el padrón electoral, 45% de los votantes son hombres y 55%, mujeres. Además, se sabe que 50% de los hombres votó por By el otro 50%, por A. Un 20% de las mujeres votó por B y60\% , por A. Los demás electores se abstuvieron. Se elige una persona al azar que haya votado, se desea saber la probabilidad de que sea hombre dado que votó por la alianza B.
Para saberlo, primero se representan los porcentajes en forma decimal, lo cual es válido ya que la medida de probabilidad de un evento sigue comprendida en el intervalo cerrado [0, 1], o bien la suma de eventos complementarios es igual a la unidad.
P(H\cap B)=P(H)\times P(H\mid B)=(0.45)(0.5)=0.225
P(M\cap B)=P(M)\times P(M\mid B)=(0.55)(0.4)=0.22
Se utiliza la expresión mostrada en los apartados anteriores y se consideran los eventos de la manera siguiente:
P(H\mid B)=\frac{P(H\cap B)}{P(B)}
Ahora bien, la probabilidad de la intersección de que sea hombre (H) y haya votado por la alianza B\left(P\left(H\cap B\right)\right) I se obtiene multiplicando los valores de sus eventos respectivamente:P(H\cap B)=P(H)\times P(B)=(0.45)(0.5)=0.225 1
De hecho, aquí sólo se aplica la regla del producto e independencia, es decir, la probabilidad de uno no inf uye en la probabilidad de ocurrencia del otro.
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