Simetría axial: ubicar puntos reflejados y sus coordenadas

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Respuesta rápida

1.a: Se cuenta la distancia al eje y se repite del lado opuesto. 1.b: Mismo tamaño y forma, distinto lado. 1.c: Igual ordenada y abscisas que suman 8 (eje x = 4). Ejemplo: $(x,y) \rightarrow (6-x,y)$ .

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Solución — Página 111

Texto de Matemática 5. Quinto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 1

a

Preguntas guías sobre cómo ubicar la otra mitad de una figura respecto de un eje de simetría.

Para situar cada punto de la mitad faltante se cuenta, cuadro por cuadro, la distancia horizontal que hay entre ese punto y el eje de simetría (aquí la recta $x = 4$ ).
Se transmite esa misma distancia del otro lado del eje y se marca el nuevo punto; es decir, si un punto está a $d$ unidades a la izquierda del eje, su imagen queda a $d$ unidades a la derecha.
Verificación con el punto $A(3,7)$ : distancia al eje $= 4 - 3 = 1$ unidad, así que $A_1$ está en $4 + 1 = 5$ , o sea $A_1(5,7)$ , igual que la tabla.

Respuesta: Se cuenta la distancia al eje y se replica del lado opuesto manteniendo la misma cantidad de cuadros.

Parte 1.b

Semejanzas: las dos mitades tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma cantidad de vértices; al doblar sobre el eje coinciden exactamente.
Diferencias: están ubicadas en lados opuestos del eje; una figura se refleja "volteada", de modo que lo que está a la izquierda pasa a la derecha.
Para dibujar la otra mitad, Sisa midió la distancia de cada punto al eje de simetría y lo reprodució del lado contrario, uniendo después los puntos en el mismo orden.

Respuesta

Coinciden en forma y tamaño; difieren en el lado del eje, y Sisa repitió distancias y orden de los vértices.

Ejercicio 1

c

Se pide analizar las coordenadas de los pares de puntos simétricos registrados en la tabla.

Parte 1.c

i

$A(3,7)$ y $A_1(5,7)$ : la ordenada es la misma ( $7$ ); la abscisa pasa de $3$ a $5$ .
Observación con el eje $x = 4$ : $3 + 5 = 8$ , y $8 \div 2 = 4$ ; la abscisa del eje es el promedio de las abscisas.
$B(1,7)$ y $B_1(7,7)$ : también igual ordenada $7$ ; $1 + 7 = 8$ y $8 \div 2 = 4$ .

Respuesta

Tienen la misma ordenada y sus abscisas son equidistantes del eje (suman $8$ , es decir $2 \times 4$ ).

Parte 1.c

ii

$C(1,5)$ y $C_1(7,5)$ : misma ordenada $5$ , $1 + 7 = 8$ .
$D(2,4)$ y $D_1(6,4)$ : misma ordenada $4$ , $2 + 6 = 8$ .
En todos los pares de la tabla se repite el mismo comportamiento.

Respuesta

Sí, ocurre lo mismo: ordenadas iguales y abscisas simétricas respecto de $x = 4$ .

Parte 1.c

iii

Sí, el patrón es general para cualquier simetría respecto de una recta vertical $x = k$ .
Para un punto $P(x,y)$ su imagen es $P'(2k - x, y)$ .
Ejemplo con $k = 4$ y $x = 2$ : $P'(2 \cdot 4 - 2, y) = (6, y)$ , que coincide con $D_1$ .

Respuesta

Sí; el reflejo respecto de $x = k$ transforma $(x,y)$ en $(2k - x, y)$ .

Ejercicio 2

Diseñar una figura simétrica en un plano cartesiano y dar las coordenadas de sus puntos (propuesta de ejemplo).

Se elige el eje vertical $x = 3$ sobre una cuadrícula.
Se traza una "casa" con la mitad izquierda: $P(1,1)$ , $Q(1,4)$ , $R(3,6)$ .
Se refleja cada punto con la regla x' = 2(3) - x = 6 - x:
- $P(1,1) \rightarrow P'(5,1)$
- $Q(1,4) \rightarrow Q'(5,4)$
- $R(3,6) \rightarrow R'(3,6)$ , porque está justo sobre el eje.
Se unen los puntos en orden: $P - Q - R - Q' - P' - P$ .