Reflexión de figuras y eje de simetría en el plano cartesiano

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Respuesta rápida

3.a: distancias de 5, 2 y 1 unidades; reflejar = imagen simétrica congruente. 3.b: cuadrilátero reflejado congruente (ej.: $P'(9,2)$ , $Q'(6,5)$ , $R'(8,7)$ , $S'(10,5)$ ). 4: $G(7,5)$ y $L(6,2)$ .

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Solución — Página 112

Texto de Matemática 5. Quinto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 3

Actividad sobre un triángulo azul reflejado respecto de una recta roja vertical del plano, generando un triángulo negro congruente.

Parte 3.a

Ejercicio 1

distancias horizontales entre el eje de reflexión y los pares de vértices.

Identifico la recta roja: es la vertical $x = 6$ .
Par $A$ y $A_{1}$ : $A$ está en $(1,4)$ , así que su distancia al eje es $6 - 1 = 5$ unidades. $A_{1}$ está en $(11,4)$ , distancia $11 - 6 = 5$ unidades.
Par $B$ y $B_{1}$ : $B(4,7)$ → $6 - 4 = 2$ unidades; $B_{1}(8,7)$ → $8 - 6 = 2$ unidades.
Par $C$ y $C_{1}$ : $C(5,1)$ → $6 - 5 = 1$ unidad; $C_{1}(7,1)$ → $7 - 6 = 1$ unidad.
Observo que en cada par ambas distancias coinciden y que todos los puntos de un mismo par tienen la misma ordenada.

Respuesta

distancias de 5, 2 y 1 unidades para los pares $(A,A_{1})$ , $(B,B_{1})$ y $(C,C_{1})$ respectivamente.

Ejercicio 2

¿qué significa reflejar una figura?

La reflexión es un cambio de posición que no altera ni el tamaño ni la forma: los lados y ángulos se conservan iguales.
Cada punto se traslada en línea perpendicular al eje, hacia el lado opuesto, manteniendo la misma distancia a ese eje.
Por eso el triángulo negro es congruente al azul, pero quedó "volteado" respecto de la recta roja.

Respuesta orientativa: es una transformación que produce una imagen simétrica idéntica en forma y tamaño, en la que cada punto equidista del eje respecto del cual se refleja.

Parecidos y diferencias (pregunta inicial): se parecen en forma, tamaño, longitud de lados y medidas angulares; difieren en la orientación y en la posición respecto de los ejes.

Parte 2.b

Actividad de diseño: convertir el triángulo en un cuadrilátero y reflejarlo.

Dibujo una cuadrícula y sobre ella un plano cartesiano, marcando $x$ e $y$ con la misma escala.
Elijo cuatro vértices, por ejemplo $P(1,2)$ , $Q(4,5)$ , $R(2,7)$ y $S(0,5)$ , y los uno para formar el cuadrilátero.
Trazo el eje de reflexión, por ejemplo la vertical $x = 5$ .
Calculo la distancia de cada vértice al eje: $P$ : $5-1=4$ ; $Q$ : $5-4=1$ ; $R$ : $5-2=3$ ; $S$ : $5-0=5$ .
Marco cada punto reflejado del otro lado, con la misma distancia y la misma ordenada: $P'(9,2)$ , $Q'(6,5)$ , $R'(8,7)$ , $S'(10,5)$ .
Uno $P'Q'R'S'$ : obtengo un cuadrilátero congruente al original.

Respuesta orientativa: la figura reflejada conserva medidas y forma; solo cambia la posición respecto del eje elegido.

Ejercicio 4

Actividad "Aplicamos lo aprendido": ubicar las casas de Gabriel y de Luisa a partir de las indicaciones que dan Nancy y Gabriel en el plano, cuyo eje de simetría es la vertical $x = 4$ .

Localizo los puntos dados: $K(1,5)$ es la casa de Kibari y $N(2,2)$ es la de Nancy.
Gabriel informa que su vivienda tiene la misma ordenada que la de Kibari y queda igualmente alejada del eje, pero al otro lado. Ordenada: $y = 5$ .
Distancia de $K$ al eje: $4 - 1 = 3$ unidades.
La casa de Gabriel estará a 3 unidades del eje del lado derecho: $x = 4 + 3 = 7$ . Por lo tanto $G(7,5)$ .
Nancy indica a Luisa que su casa comparte ordenada con la de Nancy: $y = 2$ .
Distancia de $N$ al eje: $4 - 2 = 2$ unidades.
La casa de Luisa queda a 2 unidades al lado derecho: $x = 4 + 2 = 6$ . Por lo tanto $L(6,2)$ .