Comparar fracciones con distinto denominador en una carrera

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Respuesta rápida

2.a: denominadores distintos (3, 6, 12); sirve para igualar el tamaño de la parte; común = 12. 2.b: 10/12 > 9/12 > 8/12, orden: Pablo, Felipe, Carlos; 12 es el mcm. 3: Gabriel acierta: fracciones de totales distintos no son comparables.

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Solución — Página 67

Texto de Matemática 5. Quinto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 2

Actividad de carrera: ordenar el avance de tres corredores expresado como fracciones heterogéneas $\frac{2}{3}$ , $\frac{5}{6}$ y $\frac{9}{12}$ .

Parte 2.a

Preguntas guía sobre los denominadores.

Los denominadores son $3$ , $6$ y $12$ : son números distintos, por eso las fracciones son heterogéneas y no se pueden comparar de un vistazo contando partes iguales.
Buscar fracciones equivalentes permite expresar cada avance con el mismo tamaño de parte, de modo que baste comparar los numeradores.
El denominador común adecuado es el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 12:
- $3$ y $6$ : $\text{mcm} = 6$ .
- $\text{mcm}(6, 12) = 12$ , porque $12$ es múltiplo de ambos.

Respuesta

los denominadores son distintos ( $3$ , $6$ , $12$ ); las fracciones equivalentes igualan el tamaño de la parte; el denominador común puede ser $12$ .

Parte 2.b

Análisis de las representaciones y pregunta final.

Carlos: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ .
Pablo: $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$ .
Felipe: ya está en doceavos, $\frac{9}{12}$ .
Ahora todos comparten denominador, se comparan los numeradores: $10 > 9 > 8$ .
Por lo tanto: $\frac{10}{12} > \frac{9}{12} > \frac{8}{12}$ .

Orden de la carrera: 1.º Pablo, 2.º Felipe, 3.º Carlos.

¿Por qué $12$ ? Porque es el múltiplo común más pequeño de $3$ , $6$ y $12$ : cada denominador original divide exactamente a $12$ ( $12 \div 3 = 4$ , $12 \div 6 = 2$ , $12 \div 12 = 1$ ), por lo que las fracciones equivalentes quedan con numeradores pequeños y además la fracción de Felipe no necesita transformarse.

Comprobación gráfica

En la barra dividida en $12$ partes iguales, las barras pintadas miden $8$ , $10$ y $9$ partes; la más larga es la de Pablo y la más corta la de Carlos, lo que confirma el orden obtenido.

Respuesta

$12$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores, lo que da fracciones equivalentes equivalentes simples de comparar.

Ejercicio 3

Diálogo entre Nancy y Gabriel sobre si $\frac{2}{3}$ de una pista corta equivale a $\frac{2}{3}$ de una pista larga.

Una fracción depende de la unidad de referencia: el todo que se divide.
Tomemos pistas de $90 \, \text{m}$ y de $180 \, \text{m}$ .
$\frac{2}{3}$ de $90 = \frac{2 \times 90}{3} = 60 \, \text{m}$ .
$\frac{2}{3}$ de $180 = \frac{2 \times 180}{3} = 120 \, \text{m}$ .
$60 \, \text{m} \ne 120 \, \text{m}$ : aunque el numerador y el denominador son iguales, los totales son distintos.
Por eso Gabriel tiene razón: solo se comparan fracciones de unidades del mismo tamaño o longitud.

Nota metodológica (recuadro lateral)

Para comparar fracciones heterogéneas se convierten a homogéneas: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ y $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , y como $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$ , entonces $\frac{2}{6} < \frac{6}{9}$ .

Respuesta

Gabriel es correcto porque las fracciones se refieren a totales distintos; $\frac{2}{3}$ de una pista corta recorre menos metros que $\frac{2}{3}$ de una pista larga.

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