Comparación de fracciones con distinto denominador: ¿quién tiene el pañuelo más largo?

Pregunta: ¿A qué unidad pertenecen las fracciones 3/4 y 2/3? Opciones: Metro · Tela · Pañuelo.

1. Las fracciones acompañan a una magnitud de longitud: indican cuántos metros mide cada trozo de tela.
2. La "tela" es el material y el "pañuelo" es el objeto confeccionado; ninguno de los dos es una unidad de medida.
3. La unidad de longitud del Sistema Internacional usada aquí es el metro (m).

Pregunta: ¿Qué estrategia de las mostradas te parece la más sencilla?

1. Se revisan las tres estrategias presentadas: (i) tiras de fracciones que se cubren con piezas de 1/12, (ii) rectas numéricas alineadas y (iii) búsqueda de fracciones equivalentes con denominador común.
2. La estrategia con denominador común exige solo dos operaciones: hallar el denominador común y convertir cada fracción.
3. Respuesta orientativa: es la más práctica porque evita dibujar; basta con multiplicar los denominadores (4 × 3 = 12) para obtener el común.

Respuesta orientativa: convertir ambas fracciones a un denominador común, porque se resuelve con dos cálculos rápidos y no requiere gráficos.

Pregunta: ¿Qué indica el número 1 al final de cada recta numérica?

1. Cada recta comienza en 0 y termina en 1.
2. Las fracciones que se comparan son propias (menores que la unidad), por lo que deben ubicarse entre 0 y 1.
3. El 1 marca el final de la unidad completa: la recta muestra cómo se divide esa unidad en partes iguales (cuartos, tercios y doceavos).

Respuesta orientativa: indica la unidad completa; todas las fracciones comparadas se ubican dentro del intervalo de 0 a 1.

Resolución del problema central

1. Se identifican los denominadores: 4 y 3, distintos (fracciones heterogéneas), por lo que no se pueden comparar directamente los numeradores.
2. Se busca un denominador común: el mínimo común múltiplo de 4 y 3 es 12, ya que 4 × 3 = 12 y 12 es múltiplo de ambos.
3. Se convierte la fracción de Gabriel: \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}.
4. Se convierte la fracción de Nancy: \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}.
5. Ahora las fracciones son homogéneas, así que basta comparar los numeradores: 9 > 8, luego \frac{9}{12} > \frac{8}{12}.
6. Al ser equivalentes a las originales, se concluye que \frac{3}{4} > \frac{2}{3}.
7. Verificación con rectas numéricas: 3/4 se ubica más a la derecha que 2/3 dentro del intervalo [0, 1].

Ejemplo lateral: comparar 1/4 y 5/6

1. Denominadores 4 y 6; el mínimo común múltiplo es 12.
2. \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} y \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}.
3. Como 3 < 10, entonces \frac{3}{12} < \frac{10}{12}, y por tanto \frac{1}{4} < \frac{5}{6}.

Respuesta: \frac{1}{4} < \frac{5}{6}.