Resta de fracciones heterogéneas: Laura y Mario en bicicleta

¿Cuál es la diferencia entre las distancias recorridas por Laura y Mario?

1. Del gráfico se lee la distancia de cada uno hasta el punto rojo: Laura recorrió \frac{5}{6} de 1\,\text{km}, es decir \frac{5}{6}\,\text{km}; Mario recorrió \frac{9}{12} de 1\,\text{km}, es decir \frac{9}{12}\,\text{km}.
2. Las fracciones son heterogéneas (denominadores 6 y 12), así que se homogeneizan buscando un denominador común. El mcm de 6 y 12 es 12.
3. Se amplifica \frac{5}{6} multiplicando numerador y denominador por 2: \frac{5}{6}=\frac{5\times 2}{6\times 2}=\frac{10}{12}.
4. Se restan las fracciones ya homogéneas: \frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{10-9}{12}=\frac{1}{12}.
5. Verificación: \frac{1}{12}+\frac{9}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}, que es la distancia de Laura. Correcto.

¿Por qué se consideró homogeneizar las fracciones? Justifica con un ejemplo.

1. Solo se pueden sumar o restar directamente fracciones que tienen el mismo denominador, porque así las partes en que se divide la unidad son iguales.
2. Homogeneizar (buscar un común denominador) transforma las fracciones heterogéneas en fracciones equivalentes con igual denominador, sin cambiar su valor.
3. Ejemplo: para restar \frac{1}{2}-\frac{1}{3} no se puede operar directamente; se homogeneiza a denominador 6: \frac{1}{2}=\frac{3}{6} y \frac{1}{3}=\frac{2}{6}, luego \frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.

Respuesta orientativa: Se homogeneiza para que ambas fracciones se refieran a partes del mismo tamaño (igual denominador) y la resta sea válida; por ejemplo, \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.

¿Qué otro procedimiento podrías emplear para dar respuesta a la pregunta de la situación? Explica.

1. Procedimiento por simplificación previa: \frac{9}{12} se simplifica dividiendo entre 3, \frac{9}{12}=\frac{3}{4}. Entonces \frac{5}{6}-\frac{3}{4}, y con mcm 12: \frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{1}{12}.
2. Procedimiento por productos cruzados: \frac{5}{6}-\frac{9}{12}=\frac{5\times 12-9\times 6}{6\times 12}=\frac{60-54}{72}=\frac{6}{72}=\frac{1}{12}.
3. Procedimiento decimal: \frac{5}{6}\approx 0{,}833 y \frac{9}{12}=0{,}75; la diferencia es 0{,}833-0{,}75=0{,}083\approx\frac{1}{12}.

Respuesta orientativa: Se puede simplificar \frac{9}{12} a \frac{3}{4} antes de restar, usar productos cruzados \frac{5\times 12-9\times 6}{6\times 12}=\frac{1}{12} o comparar con expresiones decimales, obteniendo siempre \frac{1}{12}\,\text{km}.