Magnitudes directamente proporcionales: área y costo de jardines

Formalización (marco teórico)

Dos magnitudes son directamente proporcionales (M. D. P.) si al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción, y si al disminuir una, la otra disminuye en la misma proporción. El cociente entre ellas es constante: se llama constante de proporcionalidad k.

\frac{y}{x}=k \quad \Rightarrow \quad y=k\cdot x

En la tabla de la página: \frac{6}{3}=2, \frac{12}{6}=2, \frac{30}{15}=2. Luego k=2 soles por objeto.

Representa gráficamente el otro jardín cuadrado, cuyos lados miden el triple de los del jardín descrito en la oferta, y determina su área. ¿Cuántas veces contiene este jardín al descrito en la oferta de la semana?

1. Según la tabla del ejercicio 14, el jardín de la oferta tiene área 9 \, \text{m}^{2}, por ser cuadrado su lado mide \sqrt{9}=3 \, \text{m}.
2. El lado del otro jardín es el triple: 3 \times 3 = 9 \, \text{m}.
3. Su área es A = 9^{2} = 81 \, \text{m}^{2}.
4. Comparación: 81 \div 9 = 9.

¿Cuánto debe pagarse por el mantenimiento de este jardín?

1. Constante de proporcionalidad de la tabla: k=\frac{120}{9}=\frac{40}{3}\approx 13{,}33 \, \text{S/ por m}^{2}.
2. Se comprueba: \frac{480}{36}=\frac{40}{3} y \frac{1080}{81}=\frac{40}{3}.
3. Precio del jardín de 81 \, \text{m}^{2}: P=\frac{40}{3}\times 81.
4. P=\frac{40 \times 81}{3}=40 \times 27 = 1080.

Responde la tercera pregunta de la situación.

1. La tercera pregunta pide el valor constante que se cobra por cada metro cuadrado.
2. k=\frac{120}{9}=\frac{480}{36}=\frac{1080}{81}=\frac{40}{3}.

¿Por qué se halla el área de cada jardín para determinar lo que cobra Alberto?

Respuesta orientativa: porque el pago por el mantenimiento es directamente proporcional al área del jardín: la relación es P=k\cdot A con k=\frac{40}{3} soles por metro cuadrado. Sin conocer el área no se puede aplicar la constante de proporcionalidad ni comparar cuánto cuesta un jardín respecto de otro; el área es la magnitud de entrada que determina el precio.