Proporcionalidad directa: los vasos con gelatina y la constante de proporcionalidad

Situación A: Los vasos con gelatina

Con 4 sobres de gelatina se prepararon 32 vasos. ¿Cuántos sobres se necesitan para preparar 120 vasos?

1. Identificamos las magnitudes: número de sobres (S) y número de vasos (V). Si aumentan los sobres, aumentan los vasos, entonces son directamente proporcionales.
2. Comparamos las razones de la tabla: \frac{4}{32}=\frac{3}{24}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}, es decir, 1 sobre rinde 8 vasos.
3. Igualamos con el valor desconocido: \frac{1}{8}=\frac{x}{120}.
4. Despejamos: x=\frac{120}{8}=15.

¿Qué ocurre con la cantidad de vasos si la cantidad de sobres de gelatina se multiplica por cierto número? Plantea un ejemplo.

1. Tomamos dos pares de la tabla: 4 \to 32 y 2 \to 16.
2. Dividimos: \frac{4}{2}=2 y \frac{32}{16}=2. Al dividir los sobres entre 2, los vasos también quedan divididos entre 2.
3. Probamos con un aumento: 2 \times 4 = 8 sobres.
4. Calculamos los vasos correspondientes: 16 \times 4 = 64 vasos.
5. Verificamos con la constante: 8 \times 8 = 64 vasos. Se cumple.

¿Cuál es la constante de proporcionalidad en esta situación y cómo se interpreta?

1. Dividimos siempre en el mismo orden (sobres entre vasos) usando cualquier par de la tabla: \frac{4}{32}, \frac{3}{24}, \frac{2}{16}, \frac{1}{8}.
2. Simplificamos: \frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0{,}125.
3. Comprobamos que todos los pares dan lo mismo: \frac{3}{24}=\frac{1}{8}, \frac{2}{16}=\frac{1}{8}.
4. Para interpretarla, invertimos la razón: \frac{32}{4}=8 vasos por sobre.

Ten en cuenta (ejemplo complementario)

Se calcula la constante dividiendo dos magnitudes en el mismo orden:

k=\frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{100}{10}=10

Respuesta: La constante es k=10 soles por cuaderno; siempre se obtiene el mismo valor para todos los pares correspondientes.