Áreas no poligonales: teorema de Pick y error de escala

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Respuesta rápida

1 cm = 2 km. 2.a) No; 1 cm² = 4 km². 2.b) Área corregida: 8 cm² × 4 = 32 km².

📚 exercise matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 40

Fichas de Matemática 1 · 2024

Ejercicio 1

Situación C: Áreas no poligonales

Aplicamos el teorema de Pick: $A = I + \frac{B}{2} - 1$ , con $I = 8$ puntos interiores y $B = 2$ puntos en el borde.

$A = 8 + \frac{2}{2} - 1 = 8 + 1 - 1 = 8 \text{ cm}^{2}$

Jorge comete un error doble al convertir a km²: usa equivocadamente $1\,\text{cm} = 1\,\text{km}$ y multiplica el área directamente por un factor lineal ( $8 \times 1 = 8\,\text{km}^2$ ), cuando el factor de conversión de área debe ser el cuadrado del lineal.

Ejercicio 1

Según la escala gráfica, ¿a cuántos kilómetros equivale 1 cm?

La escala gráfica está marcada con 0, 2 y 4 km sobre una barra de 2 cm.
Calculamos el valor de cada centímetro: $\dfrac{4\,\text{km}}{2\,\text{cm}} = 2\,\text{km/cm}$ .
Por lo tanto, 1 cm del dibujo representa 2 km en la realidad.

Respuesta

1 cm equivale a 2 km.

Ejercicio 2

Si 1 cm equivale a 2 km, ¿es correcto decir que 1 cm² equivale a 2 km²? Emplea esta información para corregir el procedimiento.

Parte 2.a

Verificación de la equivalencia de área

Partimos de la equivalencia lineal: $1\,\text{cm} = 2\,\text{km}$ .
Elevamos al cuadrado ambos miembros: $(1\,\text{cm})^2 = (2\,\text{km})^2$ .
Obtenemos: $1\,\text{cm}^2 = 4\,\text{km}^2$ .
Comparando: $2\,\text{km}^2 \ne 4\,\text{km}^2$ , así que la afirmación es incorrecta.

Respuesta

No es correcto; $1\,\text{cm}^2 = 4\,\text{km}^2$ .

Parte 2.b

Corrección del procedimiento

Área en el mapa (Pick): $A = I + \dfrac{B}{2} - 1 = 8 + \dfrac{2}{2} - 1 = 8\,\text{cm}^2$ .
Factor de conversión correcto de área: $1\,\text{cm}^2 = 4\,\text{km}^2$ .
Área real: $A_{\text{real}} = 8\,\text{cm}^2 \times \dfrac{4\,\text{km}^2}{1\,\text{cm}^2} = 32\,\text{km}^2$ .
Verificamos con la escala: el lado del cuadrado patrón pasa de 1 cm a 2 km, así que su área pasa de 1 cm² a 4 km². Consistente.

Respuesta

El área estimada del distrito es $32\,\text{km}^2$ .

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