Inecuaciones de primer grado: propiedades de la desigualdad y propiedad transitiva

¿Por qué se determinó que 143 es el número de trabajos de investigación que tiene que revisar Luis? Argumenta.

1. La frase «la mitad de los trabajos por revisar y 28 más no llegarían a la centena» se traduce como \frac{1}{2}x+28<100.
2. Restamos 28 a ambos miembros; la desigualdad se mantiene: \frac{1}{2}x+28-28<100-28, de donde \frac{1}{2}x<72.
3. Multiplicamos por 2 ambos miembros: 2\cdot\frac{1}{2}x<2\cdot 72, luego x<144, es decir C.S.=\{0;1;2;\ldots;141;142;143\}.
4. La otra condición del enunciado exige que x>142{,}9 (pues C.S.=\{143;144;145;\ldots\}).
5. Por la propiedad transitiva, x debe cumplir las dos a la vez: 142{,}9<x<144.
6. Los números naturales que están entre 142{,}9 y 144 son 143 (el 144 no se incluye).

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, ¿se obtiene otra desigualdad con el mismo sentido? Justifica tu respuesta con ejemplos.

1. Sí, se obtiene otra desigualdad con el mismo sentido: es la propiedad aditiva (monotonía de la suma) de las desigualdades.
2. Ejemplo con suma: partimos de 16<20 y sumamos 5 a ambos miembros: 16+5<20+5, es decir 21<25, que conserva el sentido «menor que».
3. Ejemplo con resta: partimos de 45>30 y restamos 10 a ambos miembros: 45-10>30-10, es decir 35>20, que conserva el sentido «mayor que».
4. La razón es que sumar o restar el mismo número desplaza ambos miembros en la misma cantidad sobre la recta numérica, sin alterar cuál está a la izquierda y cuál a la derecha.

Propiedades de las desigualdades (Ten en cuenta)

1. Si a<b, entonces a+c<b+c para todo c\in\mathbb{R}. Ejemplo: 16<20\Rightarrow 16+5<20+5\Rightarrow 21<25.
2. Si a>b, entonces a-c>b-c para todo c\in\mathbb{R}. Ejemplo: 45>30\Rightarrow 45-10>30-10\Rightarrow 35>20.

Propiedad transitiva (Recuerda)

Si a<b y b<c, entonces a<c. Ejemplo: 7<9 y 9<11, entonces 7<11. En el problema: 142{,}9<x y x<144 implican 142{,}9<x<144.