Medidas de tendencia central para datos agrupados: frecuencias, media, mediana y moda

Contrasta la noción de frecuencia absoluta frente a frecuencia acumulada en una tabla de clases.

1. La frecuencia absoluta f_{i} cuenta cuántos datos caen dentro de la clase i; no considera a las clases anteriores.
2. La frecuencia acumulada F_{i} suma todas las frecuencias desde la primera clase hasta la i-ésima: F_{i}=\sum_{j=1}^{i} f_{j}.
3. Ejemplo numérico con la tercera clase: f_{3}=11, mientras que F_{3}=5+6+11=22.
4. Siempre F_{i}\ge f_{i} y el último F_{k} iguala al total de datos n.

Determina con qué frecuencia debe construirse la media de la tabla de temperaturas y recalcula el valor.

1. La media de datos agrupados exige multiplicar la marca de clase X_{i} por su frecuencia absoluta f_{i}, no por la acumulada.
2. Productos: 26\times 5=130; 34\times 6=204; 42\times 11=462; 50\times 12=600; 58\times 4=232; 66\times 2=132.
3. Suma: \sum X_{i}\cdot f_{i}=130+204+462+600+232+132=1760.
4. Total de datos: n=5+6+11+12+4+2=40.
5. Sustitución en \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{k} (X_{i}\cdot f_{i})}{n}: \bar{x}=\dfrac{1760}{40}.

Evalúa si la localización de la clase mediana y su interpretación son correctas.

1. Total de datos n=40, la mitad es \dfrac{n}{2}=\dfrac{40}{2}=20.
2. Frecuencias acumuladas: 5,\ 11,\ 22,\ 34,\ 38,\ 40.
3. La primera acumulada que alcanza 20 es F_{3}=22, que corresponde a [38;46[: esa es la clase mediana, tal como se señala en la tabla.
4. Interpretación correcta: la mediana está dentro de ese intervalo, no es igual a 22 (ese valor es solo una frecuencia acumulada).
5. Estimación por interpolación: Me = L_{i} + \dfrac{\frac{n}{2}-F_{i-1}}{f_{i}}\cdot c = 38 + \dfrac{20-11}{11}\times 8 = 38+6{,}55 \approx 44{,}5.

Reordena en forma creciente las temperaturas máximas registradas y verifica que la mediana sea un valor central.

1. Posiciones 1 a 5: datos de [22;30[ (5 valores).
2. Posiciones 6 a 11: datos de [30;38[ (6 valores, acumulado 11).
3. Posiciones 12 a 22: datos de [38;46[ (11 valores, acumulado 22).
4. Posiciones 23 a 34: datos de [46;54[ (12 valores, acumulado 34).
5. Posiciones 35 a 38: datos de [54;62[ (4 valores, acumulado 38).
6. Posiciones 39 y 40: datos de [62;70] (2 valores, acumulado 40).
7. Con n=40 (par), la mediana es el promedio de las posiciones 20 y 21; ambas caen en [38;46[.
8. Verificación: hay 19 valores anteriores a la posición 20 y 19 valores posteriores a la 21, o sea 20 por cada lado.

Juzga el cálculo y la lectura de la moda en la tabla de frecuencias.

1. La moda se busca en la clase de mayor frecuencia absoluta: comparando 5,\ 6,\ 11,\ 12,\ 4,\ 2, el máximo es f_{4}=12.
2. Clase modal: [46;54[, tal como está resaltada en la tabla (usa f_{i}, por lo que el procedimiento es el correcto).
3. Valor modal aproximado por la marca de clase: X_{4}=\dfrac{46+54}{2}=50.
4. Si se desea mayor precisión: Mo = L_{i} + \dfrac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}\cdot c con d_{1}=12-11=1 y d_{2}=12-4=8: Mo = 46 + \dfrac{1}{9}\times 8 = 46+0{,}89 \approx 46{,}9.