Media de datos agrupados: tabla de frecuencias, marcas de clase y preguntas de interpretación

Ejercicio d

Construcción de la media de estaturas a partir de una tabla de frecuencias con intervalos de clase.

1. La marca de clase X_i es la semisuma de los límites de cada intervalo: para la primera clase, X_1=\dfrac{1{,}30+1{,}35}{2}=1{,}325.
2. Repitiendo el procedimiento: X_2=1{,}375, X_3=1{,}425, X_4=1{,}475, X_5=1{,}525. La amplitud de cada clase es A=L_s-L_i=0{,}05\,\text{m}.
3. Se calcula el aporte de cada clase multiplicando marca por frecuencia: X_1f_1=1{,}325\times 2=2{,}65; X_2f_2=1{,}375\times 6=8{,}25; X_3f_3=1{,}425\times 9=12{,}825; X_4f_4=1{,}475\times 12=17{,}70; X_5f_5=1{,}525\times 1=1{,}525.
4. Suma total: \sum X_i f_i=2{,}65+8{,}25+12{,}825+17{,}70+1{,}525=42{,}95 (en la tabla se redondean a 12{,}83 y 1{,}53).
5. Número total de datos: n=2+6+9+12+1=30.
6. Media: \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{k}X_i f_i}{n}=\dfrac{42{,}95}{30}=1{,}431\overline{6}\approx 1{,}43.

Interpretación del intervalo de estaturas [1{,}45;1{,}50[.

1. El símbolo "[" a la izquierda incluye el límite inferior; el corchete que abre hacia la izquierda a la derecha excluye el límite superior.
2. Amplitud: A=1{,}50-1{,}45=0{,}05\,\text{m}.
3. Por lo tanto, la clase reúne estaturas x con 1{,}45\le x<1{,}50, es decir, de 1{,}45\,\text{m} (inclusive) hasta justo antes de 1{,}50\,\text{m}.
4. Dato complementario de la tabla: en ese intervalo hay f_4=12 estudiantes y su marca de clase es 1{,}475\,\text{m}.

Por qué conviene organizar los datos en una tabla de frecuencias cuando son datos agrupados.

1. Con muchas observaciones (aquí n=30) listar valores individuales no permite apreciar cómo se distribuyen.
2. La tabla resume la información en pocas clases, mostrando amplitud, marca de clase y frecuencia absoluta de cada una.
3. Además, la columna X_i f_i prepara el cálculo de la media con \bar{x}=\dfrac{\sum X_i f_i}{n}, y facilita comparar clases y construir gráficos.

Interpretación del resultado 1{,}43\,\text{m} obtenido.

1. El valor calculado es una media de datos agrupados: resume con un solo número las 30 estaturas.
2. Indica que una estatura típica del grupo está cerca de 1{,}43\,\text{m}: si se comparase cada estatura con este valor, las diferencias se compensarían.
3. Se trata de un valor aproximado (medida con intervalos de 0{,}05\,\text{m}), por eso se expresa con "aproximadamente".