Problemas de progresiones aritméticas: distancias, ahorro y sumas de términos

Problema de asientos de un teatro: la primera fila está a 4{,}5 m del escenario y la octava a 9{,}75 m, con igual separación entre filas; se pide la distancia de la fila 16.

1. Planteo la P.A. de distancias con a_1 = 4{,}5 y a_8 = 9{,}75.
2. Obtengo la diferencia: d = \dfrac{a_8 - a_1}{8-1} = \dfrac{9{,}75 - 4{,}75}{7} ... mejor directo: d = \dfrac{9{,}75 - 4{,}5}{7} = \dfrac{5{,}25}{7} = 0{,}75 m.
3. Uso la regla de formación: a_{16} = a_1 + 15d = 4{,}5 + 15(0{,}75).
4. Calculo: 15 \times 0{,}75 = 11{,}25, luego a_{16} = 4{,}5 + 11{,}25 = 15{,}75.

Ahorro mensual: en el primer mes se deposita S/ 30 y cada mes siguiente supera al anterior en S/ 4; se debe verificar si en 12 meses se reúnen S/ 624.

1. Los depósitos forman una P.A. con a_1 = 30 y d = 4, n = 12.
2. Último depósito: a_{12} = 30 + 11(4) = 30 + 44 = 74.
3. Suma anual: S_{12} = \left(\dfrac{a_1 + a_{12}}{2}\right) n = \left(\dfrac{30 + 74}{2}\right) \times 12.
4. S_{12} = \left(\dfrac{104}{2}\right) \times 12 = 52 \times 12 = 624.
5. Como 624 = 624, la afirmación coincide con el cálculo.

Caída de un objeto desde 2304 m: recorre 16 m, 48 m, 80 m, 112 m... en cada segundo consecutivo.

1. Es una P.A. de recorridos por segundo con a_1 = 16, d = 48 - 16 = 32.
2. Suma de n segundos: S_n = \left(\dfrac{a_1 + a_n}{2}\right) n, con a_n = 16 + (n-1)32 = 32n - 16.
3. Sustituyo: S_n = \left(\dfrac{16 + 32n - 16}{2}\right) n = \left(\dfrac{32n}{2}\right) n = 16n^{2}.
4. Igualo a la altura: 16n^{2} = 2304 \Rightarrow n^{2} = \dfrac{2304}{16} = 144.
5. n = \sqrt{144} = 12 (se toma la raíz positiva).

Bonos para 10 vendedores con presupuesto total S/ 46 000; el décimo recibe S/ 1000 y la diferencia entre puestos consecutivos es constante.

1. Planteo la P.A. de bonos: n = 10, a_{10} = 1000, S_{10} = 46000.
2. Uso S_n = \left(\dfrac{a_1 + a_n}{2}\right) n: 46000 = \left(\dfrac{a_1 + 1000}{2}\right) \times 10.
3. Simplifico: 46000 = (a_1 + 1000) \times 5 \Rightarrow a_1 + 1000 = \dfrac{46000}{5} = 9200.
4. Despejo: a_1 = 9200 - 1000 = 8200.
5. Encuentro la diferencia: d = \dfrac{a_{10} - a_1}{9} = \dfrac{1000 - 8200}{9} = \dfrac{-7200}{9} = -800.
6. Obtengo la lista: 8200, 7400, 6600, 5800, 5000, 4200, 3400, 2600, 1800, 1000.
7. Compruebo: 8200 + 7400 + \cdots + 1000 = \left(\dfrac{8200 + 1000}{2}\right)\times 10 = 4600 \times 10 = 46000$.

Ficha de autoevaluación

Para el cuadro "Evalúo mis aprendizajes": cada criterio se marca en la columna que corresponda según el dominio real. Un registro orientativo: si lograste traducir datos a expresiones algebraicas y a la fórmula S_n, marca "Lo logré" en los dos primeros criterios; si resolviste los cuatro problemas con S_n = \left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)n, márcalo también en el tercero; el cuarto se marca cuando justificaste la afirmación del Ejercicio 6 con el cálculo. Para mejorar: repasar la obtención de d a partir de dos términos y practicar más problemas donde se pide el término general.