Asientos de un anfiteatro: sumas de progresiones aritméticas

Pregunta de cierre 1: ¿Conviene agrupar la cantidad de asientos por zona del anfiteatro? Sustenta.

1. Cada zona corresponde a un bloque consecutivo de filas: 8 filas (VIP), 12 filas (preferencial) y 20 filas (general), cuya suma da las 40 filas del recinto.
2. Dentro de cada bloque los asientos siguen la misma regla de crecimiento constante de 2 asientos por fila, es decir, cada bloque es una P. A. independiente con su propio primer término y su propio número de términos.
3. En lugar de sumar fila por fila (40 sumandos), basta conocer el primer y el último término de cada bloque y aplicar S_{n}=\left(\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\right)n, que reduce el cálculo a una sola operación por zona.
4. Además, agrupar permite comparar zonas (por ejemplo, notar que la zona general, con más filas, concentra la mayor cantidad de asientos) y verificar el total del recinto restando del global.

Respuesta orientativa: Sí, es práctica: cada zona es una P. A. con pocos datos conocidos (a_{1}, a_{n} y n), lo que permite calcular cientos de asientos con una única fórmula y evita el conteo manual fila por fila; además facilita comparar y comprobar resultados entre zonas.

Pregunta de cierre 2: ¿Cómo hallar la cantidad de asientos de la zona general?

1. La zona general ocupa las filas 21 a 40, así que tiene n = 40 - 21 + 1 = 20 términos.
2. La fila k de todo el anfiteatro tiene a_{k} = 20 + (k-1)\cdot 2 asientos. Entonces el primer término de la zona es a_{21} = 20 + 20\cdot 2 = 60.
3. El último término corresponde a la fila 40: a_{40} = 20 + 39\cdot 2 = 98.
4. Aplico la fórmula de la suma: S_{20} = \left(\frac{60 + 98}{2}\right)\cdot 20 = 79\cdot 20 = 1580.
5. Comprobación: la suma de las 40 filas es S_{40} = \left(\frac{20 + 98}{2}\right)\cdot 40 = 59\cdot 40 = 2360. Como VIP = 216 y preferencial = 564, queda 2360 - (216 + 564) = 2360 - 780 = 1580.