¿Cómo la progresión geométrica nos permite hacer predicciones?

Enunciado: La secuencia de números que se obtiene a partir de la cantidad de granos, ¿es una sucesión?, ¿por qué?

1. Identificamos los primeros términos: casilla 1: (1); casilla 2: (2); casilla 3: (4); casilla 4: (8); ...
2. Observamos que cada término se obtiene multiplicando el anterior por (2): (1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots\)
3. Es una sucesión geométrica de razón (r=2) y primer término \(a_1=1\). Su término general es \(a_n=2^{n-1}\).

Enunciado: ¿Cuántos granos de trigo debe entregar el príncipe por las casillas 16 y 20?

1. Usamos el término general \(a_n=2^{n-1}\).
2. Casilla 16: \(a_{16}=2^{16-1}=2^{15}=32\,768\) granos.
3. Casilla 20: \(a_{20}=2^{20-1}=2^{19}=524\,288\) granos.
4. Total por ambas casillas: \(32\,768+524\,288=557\,056\) granos.

Enunciado: ¿Cuántos granos de trigo, en total, debe entregar el príncipe a su salvador por las dos últimas casillas?

1. Las dos últimas casillas son 63 y 64.
2. \(a_{63}=2^{62}\) y \(a_{64}=2^{63}\).
3. Total = \(2^{62}+2^{63}=2^{62}(1+2)=3\cdot2^{62}\).
4. Calculamos: \(2^{62}=4\,611\,686\,018\,427\,387\,904\); total = \(3\cdot4\,611\,686\,018\,427\,387\,904=13\,835\,058\,055\,282\,163\,712\).