Progresiones geométricas: el problema del tablero de ajedrez

Calcula la cantidad de granos de trigo en las casillas 16 y 20 del tablero, y responde la segunda pregunta de la situación.

La sucesión de granos es una progresión geométrica:

1,\;2,\;4,\;8,\;16,\;\dots

1. Identificamos los datos: a_{1}=1 y r=2.
2. Aplicamos la fórmula del término general: a_{n}=a_{1}\cdot r^{\,n-1}.
3. Casilla 16: a_{16}=1\cdot 2^{15}=32\,768.
4. Casilla 20: a_{20}=1\cdot 2^{19}=524\,288.

Responde la tercera pregunta de la situación.

1. La tercera pregunta suele pedir el total de granos del tablero: S_{64}=a_{1}\cdot\dfrac{r^{64}-1}{r-1}.
2. Sustituimos: S_{64}=1\cdot\dfrac{2^{64}-1}{2-1}.
3. Calculamos: S_{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615.

¿Podrías denotar de otra manera los números de la primera fila del tablero de ajedrez? Represéntalos.

1. La primera fila tiene 8 casillas; los valores son 1,2,4,8,16,32,64,128.
2. Cada uno es una potencia de 2: 2^{0},2^{1},2^{2},\dots,2^{7}.

Si la progresión es 4; 12; 36; 108…, ¿cómo se puede hallar la razón geométrica?

1. La razón geométrica es el cociente entre un término y el anterior: r=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}.
2. Verificamos con dos términos consecutivos: r=\dfrac{12}{4}=3; r=\dfrac{36}{12}=3.

¿Puedes verificar el procedimiento empleado en la resolución de la situación inicial?

1. Rehacemos el ejemplo de la pelota: a_{1}=\dfrac{1}{2}, r=\dfrac{1}{2}, n=4.
2. Aplicamos la fórmula: a_{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}.
3. Calculamos: a_{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625\,\text{m}.
4. Verificamos por la vía directa: 1\to\frac{1}{2}\to\frac{1}{4}\to\frac{1}{8}\to\frac{1}{16}. Coincide.