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Progresión geométrica: razón, término n-ésimo y suma de términos

📄 ejemplo matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

Razones: $-5$ ; $0{,}2$ ; $\sqrt{3}$ . 2) $a_{10}$ : $19\,531\,250$ ; $1{,}024\times10^{-7}$ ; $162\sqrt{6}$ . 3) 4.ª moto: S/ 200.

matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 28

Fichas de Matemática 3 · 2024

Ejercicio 1

Razón de una P. G. (Recuerda)

Determina la razón de las siguientes progresiones geométricas.

Parte 1.a

$-10;\ 50;\ -250;\ 1250;\dots$

Identificamos dos términos consecutivos: $a_1=-10$ y $a_2=50$ .
Aplicamos $r=\dfrac{a_2}{a_1}$ .
$r=\dfrac{50}{-10}=-5$ .

Respuesta

$r=-5$

Parte 1.b

$0{,}2;\ 0{,}04;\ 0{,}008;\dots$

Tomamos $a_1=0{,}2$ y $a_2=0{,}04$ .
$r=\dfrac{0{,}04}{0{,}2}$ .
$r=0{,}2$ .

Respuesta

$r=0{,}2$

Parte 1.c

$2\sqrt{2};\ 2\sqrt{6};\ 6\sqrt{2};\dots$

Tomamos $a_1=2\sqrt{2}$ y $a_2=2\sqrt{6}$ .
$r=\dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{6}{2}}$ .
$r=\sqrt{3}$ .

Respuesta

$r=\sqrt{3}$

Ejercicio 2

Término $a_{10}$ (Ten en cuenta)

Halla el término $a_{10}$ de las siguientes P. G. usando $a_n=a_1\cdot r^{\,n-1}$ .

Parte 2.a

$-10;\ 50;\ -250;\ 1250;\dots$

$a_1=-10$ , $r=-5$ , $n=10$ .
$a_{10}=(-10)\cdot(-5)^{9}=(-10)\cdot(-1\,953\,125)$ .
$a_{10}=19\,531\,250$ .

Respuesta

$a_{10}=19\,531\,250$

Parte 2.b

$0{,}2;\ 0{,}04;\ 0{,}008;\dots$

$a_1=0{,}2$ , $r=0{,}2$ , $n=10$ .
$a_{10}=(0{,}2)\cdot(0{,}2)^{9}=(0{,}2)^{10}$ .
$a_{10}=1{,}024\times10^{-7}$ .

Respuesta

$a_{10}=1{,}024\times10^{-7}$

Parte 2.c

$2\sqrt{2};\ 2\sqrt{6};\ 6\sqrt{2};\dots$

$a_1=2\sqrt{2}$ , $r=\sqrt{3}$ , $n=10$ .
$a_{10}=(2\sqrt{2})\cdot(\sqrt{3})^{9}=(2\sqrt{2})\cdot 3^{4}\sqrt{3}$ .
$a_{10}=(2\sqrt{2})(81\sqrt{3})=162\sqrt{6}$ .

Respuesta

$a_{10}=162\sqrt{6}$

Ejercicio 3

Situación B — Comisión en la venta de motos

Rubén vende 9 motos con comisión que se duplica por cada moto adicional. Recibe S/ 12 775 en total. ¿Cuánto le pagaron por la cuarta moto?

La primera comisión es $x$ ; cada siguiente es el doble: $x;\ 2x;\ 2^{2}x;\ 2^{3}x;\dots$ La razón es $r=2$ .
La suma de las 9 comisiones es $S_9=12\,775$ .
Aplicamos $S_n=\dfrac{a_1(r^{n}-1)}{r-1}$ con $a_1=x$ , $r=2$ , $n=9$ : $S_9=\dfrac{x(2^{9}-1)}{2-1}=x(512-1)=511x.$
Igualamos: $511x=12\,775\Rightarrow x=\dfrac{12\,775}{511}=25$ soles.
La comisión de la cuarta moto es $a_4=2^{3}\cdot x=8\cdot 25$ .