Situación C: El número de microorganismos (progresión geométrica)

Situación C: El número de microorganismos

Jorge inicia un cultivo con 20 microorganismos que se duplican cada 4 horas. Se pide cuántos habrá al cabo de 44 horas.

Identificación del error

1. En 44 horas hay \frac{44}{4}=11 intervalos de 4 horas, por lo que se necesitan 11 términos.
2. La tabla muestra que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2: 40 \to 80 \to 160 \to 320. Por tanto, la razón es r=2.
3. La resolución usa r=4, confundiendo las "4 horas" con la razón de la progresión. Ese es el error: con r=4 se llega a 10 \times 4^{11}, resultado incorrecto.
4. Al tomar a_1=40 (valor a las 4 horas) debe usarse n=11 para las 44 horas, lo cual sí es correcto.

Corrección de la resolución

a_{11}=a_1 \cdot r^{\,n-1}=40 \times 2^{11-1}=40 \times 2^{10}=40 \times 1024=40\,960

Verificación: 20 \times 2^{11}=20 \times 2048=40\,960.

¿Cuál sería la corrección a la resolución?

1. La razón correcta es r=2, porque el cultivo se duplica (no se cuadruplica). El valor 4 corresponde a las horas, no a la razón.
2. Sustituir en la fórmula: a_{11}=40 \times 2^{10}.
3. Calcular: a_{11}=40 \times 1024=40\,960.

¿Qué otro procedimiento podrías realizar para resolver la situación planteada? Explica.

1. Tomar como valor inicial a_0=20 (en t=0) y contar las 11 duplicaciones que ocurren en 44 horas.
2. Aplicar el modelo exponencial: a=20 \times 2^{11}.
3. Calcular: 20 \times 2048=40\,960.

Respuesta orientativa: También se puede construir la tabla y multiplicar sucesivamente por 2 once veces (20, 40, 80, 160, ...), lo que equivale a 20 \times 2^{11}=40\,960 microorganismos. Este procedimiento evita confundir el tiempo de duplicación con la razón y sirve como verificación del resultado.