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Evaluamos nuestros aprendizajes: progresiones geométricas

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

c) 65 535. 2) d) II, III y V. 3) c) −135. 4) Juan 81; Patricia 8. 5) Ahorró S/2110; faltan S/890.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 31

Fichas de Matemática 3 · 2024

Ejercicio 1

Maritza recibe 1; 2; 4; ... puntos por cada rival vencido (P. G. de razón 2) y venció a 16 contrincantes. ¿Cuántos puntos acumuló?

Datos: $a_{1}=1$ , $r=2$ , $n=16$ .
Es una P. G., uso la suma: $S_{n}=\dfrac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$ .
Sustituyo: $S_{16}=\dfrac{1\cdot(2^{16}-1)}{2-1}$ .
$2^{16}=65536$ , entonces $S_{16}=65535$ .

Respuesta

65 535 puntos (opción c).

Ejercicio 2

Halla la razón y determina cuáles sucesiones son progresiones geométricas.

Parte 2.i

$2;4;6;8;10;\dots$

$\dfrac{4}{2}=2$ , $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ .
Razones distintas.

Respuesta

No es P. G. (es aritmética, $d=2$ ).

Ejercicio 2

II

$1;3;9;27;81;\dots$

$\dfrac{3}{1}=3$ , $\dfrac{9}{3}=3$ , $\dfrac{27}{9}=3$ .
Razón constante $r=3$ .

Respuesta

Sí es P. G., $r=3$ .

Ejercicio 2

III

$1;1;1;1;1;\dots$

$\dfrac{1}{1}=1$ en todos los cocientes.

Respuesta

Sí es P. G., $r=1$ .

Ejercicio 2

IV

$1;2;1;2;1;\dots$

$\dfrac{2}{1}=2$ , $\dfrac{1}{2}=0{,}5$ .
Razones distintas.

Respuesta: No es P. G.

Parte 2.v

$2;-2;2;-2;2;\dots$

$\dfrac{-2}{2}=-1$ , $\dfrac{2}{-2}=-1$ .
Razón constante $r=-1$ .

Respuesta final: Son P. G. II, III y V → opción d).

Respuesta

Sí es P. G., $r=-1$ .

Ejercicio 3

En una P. G. el noveno término es $5$ y la razón es $-\dfrac{1}{3}$ . Halla el sexto término.

Del término $n$ -ésimo: $a_{9}=a_{1}\cdot r^{8}$ .
Sustituyo: $5=a_{1}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{8}=\dfrac{a_{1}}{6561}$ .
Despejo: $a_{1}=5\times 6561=32805$ .
Calculo el sexto: $a_{6}=a_{1}\cdot r^{5}=32805\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{5}$ .
$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{5}=-\dfrac{1}{243}$ , luego $a_{6}=\dfrac{32805}{-243}=-135$ .

Respuesta

$-135$ (opción c).

Ejercicio 4

Juan y Patricia venden 120 celulares cada uno en 4 días. Juan vende cada día $\dfrac{1}{3}$ del día anterior; Patricia, el doble.

Parte 4.a

(Juan)

P. G. decreciente: $a_{1}$ , $r=\dfrac{1}{3}$ , $n=4$ , $S_{4}=120$ .
$S_{4}=\dfrac{a_{1}(1-r^{4})}{1-r}=\dfrac{a_{1}\left(1-\dfrac{1}{81}\right)}{\dfrac{2}{3}}$ .
$\dfrac{80}{81}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{40}{27}$ , entonces $a_{1}=\dfrac{120\times 27}{40}=81$ .

Respuesta

Juan vendió 81 celulares el primer día.

Parte 4.b

(Patricia)

P. G. creciente: $r=2$ , $n=4$ , $S_{4}=120$ .
$S_{4}=\dfrac{a_{1}(2^{4}-1)}{2-1}=15a_{1}$ .
$a_{1}=\dfrac{120}{15}=8$ .

Respuesta

Patricia vendió 8 celulares el primer día.

Ejercicio 5

El congelador cuesta S/3000. Se ahorra cada mes $\dfrac{2}{3}$ de lo ahorrado el mes anterior y el quinto mes ahorró S/160.

$a_{5}=a_{1}\cdot r^{4}$ con $r=\dfrac{2}{3}$ .
$160=a_{1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}=\dfrac{16a_{1}}{81}$ , luego $a_{1}=160\cdot\dfrac{81}{16}=810$ .
Suma de los 5 meses: $S_{5}=\dfrac{a_{1}(1-r^{5})}{1-r}=\dfrac{810\left(1-\dfrac{32}{243}\right)}{\dfrac{1}{3}}$ .
$1-\dfrac{32}{243}=\dfrac{211}{243}$ ; entonces $S_{5}=810\cdot\dfrac{211}{243}\cdot 3=2110$ .
Falta: $3000-2110=890$ .