Progresiones geométricas: razón, regla de formación y suma de términos

Carmen envía mensajes a 3 amigas y cada una reenvía a otras 3, sucesivamente. Tras m envíos, ¿cuántas copias se habrán hecho del mensaje?

1. En el 1.er envío se hacen 3^{1}=3 copias.
2. En el 2.º envío cada una de las 3 amigas reenvía a 3, generando 3^{2}=9 copias.
3. En general, en el envío k se producen 3^{k} copias. Las copias totales suman una P. G. de razón r=3: S=3+3^{2}+3^{3}+\dots+3^{m}=\dfrac{3(3^{m}-1)}{3-1}
4. Simplificando: S=\dfrac{3}{2}(3^{m}-1).

La colonia pasó de 59\,049 bacterias el día 1 a 236\,196 el día 3. ¿Cuál es la razón diaria?

1. En una P. G. se cumple a_{n}=a_{1}\cdot r^{\,n-1}.
2. Con n=3: a_{3}=a_{1}\cdot r^{2}.
3. Sustituyendo: 236\,196=59\,049\cdot r^{2}.
4. Despejando: r^{2}=\dfrac{236\,196}{59\,049}=4.
5. Como r>0: r=\sqrt{4}=2.

Primera oscilación 16\,\text{cm}; cada una es \frac{3}{4} de la anterior. Halla la regla de formación y la distancia total en 10 oscilaciones.